Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（I）求CD₁与平面ADD₁A₁所成角；
（II）求证：CD₁∥平面A₁BD；
（III）求证：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．

Answer 1

分析：（I）直接根据CD⊥平面ADD₁A₁，DD₁为斜线CD₁在平面ADD₁A₁上的射影，得到∠CD₁D即为所求，然后在等腰直角三角形CDD₁中求出∠CD₁D即可；
（II）先根据A₁D₁∥BC且A₁D₁=BC，得到A₁D₁CB为平行四边形⇒D₁C∥A₁B，即可得到结论；
（III）先根据AA₁⊥平面ABCD，得到AA₁⊥BD；再结合BD⊥AC可得BD⊥平面A₁ACC₁，进而证明结论．

解答：解：（I）因为CD⊥平面ADD₁A₁，DD₁为斜线CD₁在平面ADD₁A₁上的射影，
则∠CD₁D即为所求．
在等腰直角三角形CDD₁中可得，∠CD₁D=45°．
（II）证明：因为A₁D₁∥BC且A₁D₁=BC，所以A₁D₁CB为平行四边形，
所以D₁C∥A₁B且D₁C?平面A₁BD，
所以D₁C∥平面A₁BD．
（III）证明：因为AA₁⊥平面ABCD，所以AA₁⊥BD，
又因为BD⊥AC，AA₁∩AC=A，
所以BD⊥平面A₁ACC₁，
又BD?平面A₁BD，
所以平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁．

点评：本题主要考查线面所成的角，线面平行以及面面垂直．是对立体几何知识的综合考查，属于综合题目．