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    绝密★启用前                                           

    广东省揭阳市2008－2009学年高中毕业班高考调研测试数学试题(理科)

    本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟．

    注意事项：

    1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

    2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

    3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效．

    4．考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

    一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

    1．在复平面内，复数  对应的点与原点的距离是

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    A.              B.             C.               D.

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    2．已知，则“”是 “”的

    A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件 C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件

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    3．已知是等差数列，，，则过点的直线的斜率

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    A．4                        B．                      C．－4                      D．－14

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    4．已知的图象如图所示，则

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    A．       B．     C．    D．或

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    5．若点到直线的距离比它到点的距离小2，则点的轨迹方程为

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    A.        B.       C.       D.

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    6. 某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，

    主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的三面护墙，

    其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的

    工作台用去的合板的面积为（制作过程合板的损耗和合板厚度忽略不计）

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    A.        　　        B.  

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    C.      　    D.

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    7．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则

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    A．              B．2                        C．                    D．4

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    8．已知函数：，其中：，记函数满足条件：为事件为A，则事件A发生的概率为

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    A．  　         B．  　　       C． 　        　D．

    （一）必做题（9～12题）

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    二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

    9．某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，

    已知座位号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中另一位同

    学的座位号应该是           ．

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    10．若的展开式中的系数是80，则实数的值是        .　                                              

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    11．右图是一程序框图，则其输出结果为                      ．

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    12．路灯距地面为6m，一个身高为1.6m的人以1.2m/s的速度从路灯的正

    底下，沿某直线离开路灯，那么人影长度S(m)与人从路灯的正底下离开路

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    灯的时间的关系为          ，人影长度的变化速度v为     （m/s）．

    （二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题）

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    13. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线与直线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是_________________.

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    14. (不等式选讲选做题)函数的最大值=_________ .

     

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    15. （几何证明选讲选做题）如图，点P在圆O直径AB的延长线上，

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    且PB=OB=2,PC切圆O于C点，CDAB于D点，则PC=        ，

    CD=              .

     

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    三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

    16．（本小题满分12分）

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    已知：函数．

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    （1）求函数的最小正周期和值域；

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    （2）若函数的图象过点，.求的值．

     

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    17．（本小题满分14分）

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    如图，已知是底面为正方形的长方体，，，点是上的动点．

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    （1）试判断不论点在上的任何位置，是否都有平面

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    垂直于平面？并证明你的结论；

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    （2）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；

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    （3）求与平面所成角的正切值的最大值．

     

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    18．（本小题满分12分）

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    甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：

    （1）至少有1人面试合格的概率;

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    （2）签约人数的分布列和数学期望．

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    19．（本小题满分14分）

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    已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．

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    (1) 若椭圆的离心率，求的方程；

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    （2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．

     

     

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    20.（本小题满分14分）

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    已知向量，（其中实数和不同时为零），当时，有，当时，．

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    (1) 求函数式；

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    （2）求函数的单调递减区间；

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    （3）若对，都有，求实数的取值范围．

     

     

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    21．（本小题满分14分）

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    已知函数，函数其中一个零点为5，数列满足，且．

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    （1）求数列通项公式；

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    （2）试证明；

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    （3）设，试探究数列是否存在最大项和最小项？若存在求出最大项和最小项，若不存在，说明理由．

     

     

    2008－2009学年度揭阳市高中毕业班高考调研测试

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    一．选择题：BAAC  ADBC

    解析：

    1.，复数  对应的点为，它与原点的距离是，故选B.

    2．，但.故选A.

    3．∵是等差数列，，，∴，，

    ∴，故选A.

    4．依题意知，，，又，，，，故选C.

    5．把直线向下平移二个单位，则点到直线的距离就相等了，故点的轨迹为抛物线，它的方程为，选A．

    6．由三视图知该工作台是棱长为80的正方体上面围上一块矩形和两块直角三角形合

    板，如右图示，则用去的合板的面积故选D．

    7．，，故选B.

    8．由，可得： 知满足事件A的区域的面积

    ，而满足所有条件的区域的面积：，从而，

    得：，故选C．

    二．填空题：9.18 ; 10.2;11. ;12. 、;13. ；14.；15.、

    解析：9．按系统抽样的方法，样本中4位学生的座位号应成等差数列，将4位学生的座位号按从小到大排列，显然6，30不可能相邻，也就是中间插有另一位同学，其座位号为（6＋30）÷2＝18，故另一位同学的座位号为18．

    10． ，令

    从而展开式中的系数是，故填2.

    11．

    ，故填.

    12．设人经过时间ts后到达点B,这时影长为AB=S，如图由平几的

    知识可得，=，由导数的意义知人影长度

    的变化速度v＝（m/s）

    13．曲线为抛物线段 借助图形直观易得

    14． ，由柯西不等式得：

    ∴.

    15.由切割线定理得,,

    连结OC，则,,

    三．解答题：

    16.解：（1）---3分

    ∴函数的最小正周期为，值域为。--------------------------------------5分

    （2）解法1：依题意得： ---------------------------6分

    ∵   ∴

    ∴＝-----------------------------------------8分

    ＝

    ∵＝

    ∴＝------------------------------------------------------------------------------12分

    解法2：依题意得： 得----①-----------7分

    ∵   ∴

    ∴＝---------------------------------9分

    由＝得-----------②----------------10分

    ①+②得，∴＝-------------------------12分

    解法3：由得，--------------------7分

    两边平方得，，--------------------------8分

    ∵  ∴由知

    ∴--------------------------------------9分

    由，得--------------------10分

    ∴ ∴＝．---------------------------------12分

    17．解：（1）不论点在上的任何位置，都有平面垂直于平面.---1分

    证明如下：由题意知，，

    又    平面

    又平面   平面平面．------------------4分

    （2）解法一：过点P作，垂足为，连结（如图），则，

    是异面直线与所成的角．----------------------6分

    在中 ∵   ∴

    ∴,   ，      

     ．

    又．

    在中，

    ．----------8分

    异面异面直线与所成角的余弦值为．----------------9分

    解法二：以为原点，所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示，则，，，，，

    -----6分

    ∴．

    ∴异面异面直线与所成角的余弦值为．-----9分

    （3）由（1）知，平面，

    是与平面所成的角，---------------------------10分

    且．------------------------------------11分

    当最小时，最大，这时，由--13分

    得，即与平面所成角的正切值的最大值．---14分

    18.解:  用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，

    且.------------------------------------------------------2分

    （1）至少有1人面试合格的概率是

    ----------------------4分

    （2）的可能取值为0，1，2，3.----------------------------------------------------------5分

         ∵

                 ＝

                  ＝---------------------------6分

         

                  =

                  =--------------------------------7分

          ---------------------8分

          ----------------------9分

    ∴的分布列是

    0

    1

    2

    3

    -------------10分

    的期望----------------------------------------12分

    19.解：（1）当时，∵，∴，

    ∴，，点,，------------2分

    设的方程为

      由过点F,B,C得

    ∴-----------------①

    -----------------②

    -------------------③----------------------------5分

    由①②③联立解得，，-----------------------7分

    ∴所求的的方程为-------------8分

    （2）∵过点F,B,C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为--------④----------------------9分

    ∵BC的中点为，

    ∴BC的垂直平分线方程为-----⑤---------------------10分

    由④⑤得，即----------------11分

    ∵P在直线上，∴

    ∵  ∴

    由得-------------------------------------------13分

    ∴椭圆的方程为--------------------------------------------------------------14分

    20.解：（1）当

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