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如图，已知是底面为正方形的长方体，
，，点是上的动点．
（1）试判断不论点在上的任何位置，是否都有平面
垂直于平面？并证明你的结论；
（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求与平面所成角的正切值的最大值．

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如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面为正方形的长方体，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，点P是AD₁上的动点．
（1）试求四棱锥P-A₁B₁C₁D₁体积的最大值；
（2）试判断不论点P在AD₁上的任何位置，是否都有平面B₁PA₁垂直于平面AA₁D₁？并证明你的结论．

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一．选择题：BAAC  ADBC

解析：

1.，复数  对应的点为，它与原点的距离是，故选B.

2．，但.故选A.

3．∵是等差数列，，，∴，，

∴，故选A.

4．依题意知，，，又，，，，故选C.

5．把直线向下平移二个单位，则点到直线的距离就相等了，故点的轨迹为抛物线，它的方程为，选A．

6．由三视图知该工作台是棱长为80的正方体上面围上一块矩形和两块直角三角形合

板，如右图示，则用去的合板的面积故选D．

7．，，故选B.

8．由，可得： 知满足事件A的区域的面积

，而满足所有条件的区域的面积：，从而，

得：，故选C．

二．填空题：9.18 ; 10.2;11. ;12. 、;13. ；14.；15.、

解析：9．按系统抽样的方法，样本中4位学生的座位号应成等差数列，将4位学生的座位号按从小到大排列，显然6，30不可能相邻，也就是中间插有另一位同学，其座位号为（6＋30）÷2＝18，故另一位同学的座位号为18．

10． ，令

从而展开式中的系数是，故填2.

11．

，故填.

12．设人经过时间ts后到达点B,这时影长为AB=S，如图由平几的

知识可得，=，由导数的意义知人影长度

的变化速度v＝（m/s）

13．曲线为抛物线段 借助图形直观易得

14． ，由柯西不等式得：

∴.

15.由切割线定理得,,

连结OC，则,,

三．解答题：

16.解：（1）---3分

∴函数的最小正周期为，值域为。--------------------------------------5分

（2）解法1：依题意得： ---------------------------6分

∵   ∴

∴＝-----------------------------------------8分

＝

∵＝

∴＝------------------------------------------------------------------------------12分

解法2：依题意得： 得----①-----------7分

∵   ∴

∴＝---------------------------------9分

由＝得-----------②----------------10分

①+②得，∴＝-------------------------12分

解法3：由得，--------------------7分

两边平方得，，--------------------------8分

∵  ∴由知

∴--------------------------------------9分

由，得--------------------10分

∴ ∴＝．---------------------------------12分

17．解：（1）不论点在上的任何位置，都有平面垂直于平面.---1分

证明如下：由题意知，，

又    平面

又平面   平面平面．------------------4分

（2）解法一：过点P作，垂足为，连结（如图），则，

是异面直线与所成的角．----------------------6分

在中 ∵   ∴

∴,   ，      

 ．

又．

在中，

．----------8分

异面异面直线与所成角的余弦值为．----------------9分

解法二：以为原点，所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示，则，，，，，

-----6分

∴．

∴异面异面直线与所成角的余弦值为．-----9分

（3）由（1）知，平面，

是与平面所成的角，---------------------------10分

且．------------------------------------11分

当最小时，最大，这时，由--13分

得，即与平面所成角的正切值的最大值．---14分

18.解:  用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，

且.------------------------------------------------------2分

（1）至少有1人面试合格的概率是

----------------------4分

（2）的可能取值为0，1，2，3.----------------------------------------------------------5分

     ∵

             ＝

              ＝---------------------------6分

              =

              =--------------------------------7分

      ---------------------8分

      ----------------------9分

∴的分布列是

0

1

2

3

-------------10分

的期望----------------------------------------12分

19.解：（1）当时，∵，∴，

∴，，点,，------------2分

设的方程为

  由过点F,B,C得

∴-----------------①

-----------------②

-------------------③----------------------------5分

由①②③联立解得，，-----------------------7分

∴所求的的方程为-------------8分

（2）∵过点F,B,C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为--------④----------------------9分

∵BC的中点为，

∴BC的垂直平分线方程为-----⑤---------------------10分

由④⑤得，即----------------11分

∵P在直线上，∴

∵  ∴

由得-------------------------------------------13分

∴椭圆的方程为--------------------------------------------------------------14分

20.解：（1）当