Question

如图，已知是底面为正方形的长方体，，，点是上的动点．

（1）试判断不论点在上的任何位置，是否都有平面垂直于平面？并证明你的结论；

（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；

（3）求与平面所成角的正切值的最大值．

Answer 1

（1）不论点在上的任何位置，都有平面垂直于平面.

证明如下：由题意知，，   又 

  平面  又平面   平面平面．

（2）解法一：过点P作，垂足为，连结（如图），则，

是异面直线与所成的角．

在中 ∵   ∴

∴,   ，      

 ．  又．

在中，   ．

异面异面直线与所成角的余弦值为．

解法二：以为原点，所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示，则，，，，，

∴．

∴异面异面直线与所成角的余弦值为．

（3）由（1）知，平面，是与平面所成的角，

且．

当最小时，最大，这时，由

得，即与平面所成角的正切值的最大值．