Question

如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，给出下列结论：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA=45°；⑤直线PD与平面PAB所成角的余弦值为

10

4

．其中正确的有

①④⑤

（把所有正确的序号都填上）．

Answer 1

分析：①由PA⊥平面ABC，及正六边形的性质易得：AE⊥平面PAB，所以AE⊥PB，①正确；②由PA⊥平面ABC，易得平面PAB⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；③由正六边形的性质得BC∥AD，但是AD与平面PAE相交，所以③错；④由PA⊥平面ABC，可得PA⊥AD，又因为PA=2AB，所以∠PDA=45°，④正确；⑤由于DE∥AB，从而D到平面PAB的距离即为E到平面PAB的距离，利用直线与平面所成角的定义求出直线PD与平面PAB所成角的正弦值，再转化成直线PD与平面PAB所成角的余弦值即可进行判断．

解答：解：对于①、由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE，
又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB=A，得AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴AE⊥PB，①正确；
对于②、又平面PAB⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；
对于③、由正六边形的性质得BC∥AD，又AD?平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；
对于④、在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，∴④正确；
对于⑤、由于DE∥AB，∴D到平面PAB的距离即为E到平面PAB的距离，即E到直线PA的距离，即EA，EA=

3

AB，
在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴PD=2

2

AB，
∴直线PD与平面PAB所成角的正弦值为

3 AB

2 2 AB

=

6

4

，
∴直线PD与平面PAB所成角的余弦值为

1-( 6 4 )2

=

10

4

，∴⑤正确．
故答案为：①④⑤．

点评：本小题考查空间中的线面关系，正六边形的性质等基础知识，考查空间想象能力和思维能力，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．