Question

16、如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论中：
①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA=45°．
其中正确的有

①④

（把所有正确的序号都填上）．

Answer 1

分析：①由PA⊥平面ABC，及正六边形的性质易得：AE⊥平面PAB，所以AE⊥PB，①正确；
②由PA⊥平面ABC，易得平面PAB⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；
③由正六边形的性质得BC∥AD，但是AD与平面PAE相交，所以③错；
④由PA⊥平面ABC，可得PA⊥AD，又因为PA=2AB，所以∠PDA=45°，④正确．

解答：解：对于①、由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE，
又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB=A，得AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴AE⊥PB，①正确；
对于②、又平面PAB⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；
对于③、由正六边形的性质得BC∥AD，又AD?平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；
对于④、在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，∴④正确．
故答案为：①④

点评：本小题考查空间中的线面关系，正六边形的性质等基础知识，考查空间想象能力和思维能力，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．