绝密★启用前
湖南省株洲市2009届高三教学质量统一检测（一）
数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式
如果事件A、B相互独立，那么 其中，c表示底面周长、l表示斜高或
母线长
如果事件A在1次实验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复实验中恰好发生k 
次的概率
其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．答案要写在答题卷上。
1．复数
的虚部为
A．1 B．
D．－
2．设集合
，B=
≤0
，那么“
”是“
”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．已知
，则
＝
A．
B．
C．
D．
4．记等差数列
的前
项和为
，若
，
，则直线
的斜率为
A．－2 B．
C．－
D．
5．设变量
满足约束条件
，则
的最大值为
A． 2 B． 
D． 
6．平面
与平面
外有一条直线
，如果在与内的射影分别是直线
和直线
，给出下列四个命题：
①∥
∥； ②∥∥；
③⊥⊥； ④与相交与相交；
其中正确的命题个数是
A.1
B
7．已知函数
是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3, 且
A．4
B．
8．已知椭圆
的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且
则点M
到y轴的距离为
A．
B．
C．
D．
9．棱长为1的正方体
的8个顶点都在球
的表面上，E，F分别为棱
AB，A1D1的中点，则经过E，F球的截面面积的最小值为
A． 
B． 
C．
D．
10．高考资源网设函数
，且
，
，则下列结论不正确的是
A． 
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11．高考资源网若
展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中的常数项为___________.
12．经过坐标原点，且与直线
相切的圆中，面积最小的圆的标准方程为_________________.
13．从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为________.
14．已知
为常数，函数
在区间
上的最大值为2，则
．
15．早期的计算机在使用数据中，常常要进行八进制与十进制的转换．如：十进制的8转换成八进制是10，记作
；八进制的23转换成十进制是19，记作
．常常还要进行八进制的四则运算．如：
；
．
请计算下列两个八进制的运算：
；
＝______
.
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本题满分12分）已知函数
（
，
），且函数的最小正周期为
．
(Ⅰ)求函数的解析式并求的最小值；
(Ⅱ)在
中，角A，B，C所对的边分别为
，若
=1，
,
且
，求边长
．
17．（本小题满分12分）湖南卫视主持了一种有奖过关游戏，该游戏共有两关，只有过了第一关，才能玩第二关，每关最多玩两次，连续两次失败游戏终止．过关者可获奖金：只过第一关获奖金1000元，两关全过获奖金4000元．通过电脑抽奖，王同学有幸参与了上述游戏，王同学每一关每次过关的概率均为
，各次过关与否均互不影响．在游戏过程中，王同学不放弃所有机会．
(Ⅰ)求王同学获得1000元奖金的概率；
(Ⅱ)求王同学获得奖金额
的数学期望E．
18．（本小题满分12分）已知直角梯形
中, 
,
过
作
,垂足为
，
的中点,现将
沿
折叠使二面 角D－AE－C的平面角大小为
.
(Ⅰ) 求证：
；
(Ⅱ) 求异面直线GF与BD所成的角；
(Ⅲ) 求二面角A－BD－C的大小．
19．（本小题满分13分）由于种种原因，某市重点企业A公司一直亏损，2008年下半年又遭受全球金融危机的冲击，致使公司停产，濒临倒闭，累计负债32000万元．经反复研究，市政府决定对该公司进行紧急援助，于2009年元旦一次性给A公司无息贷款32000万元，用于支付一切债务，同时对公司进行了改制，使A公司起死回生．为了公司可持续发展，从2009年起，政府还将提供无息贷款用于A公司硬件改造，其中2009年提供5000万元，以后每年都比上年减少．据估算，2009年度将获利润4000万元，今后的利润每年都会比上年增加
．
（Ⅰ)设年内(2009年为第一年) 无息贷款总额为
万元，公司总利润为
万元.
写出
的表达式；
(Ⅱ) 经过几年公司总利润才能超过无息贷款总额?
20．（本小题满分13分）已知函数
，设
．
(Ⅰ)求
在（0，3]内的最小值；
(Ⅱ)是否存在实数，使得函数
的图象与
的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．
21．（本小题满分13分）已知抛物线C：
的焦点为F，过抛物线C上两个不同的点A,B的切线相交于点P，动点G满足
(Ⅰ)若P在直线
上,求
的取值范围；
(Ⅱ)是否存在实数
，使G在曲线C上，若存在，求，若不存在说明理由．
株洲市2009届高三年级教学质量统一检测（一）
命题人：黄小红(株洲县五中) 赵家早(株洲县五中) 郭珂珊(潇湘双语)
审题人：郭珂珊 (潇湘双语) 赵家早(株洲县五中) 黄小红(株洲县五中)
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．答案要写在答题卷上。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
D
C
A
C
B
C
C
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11. －160
12． 
13.
14．－
； 15. （1）617 （2）4040
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.解（Ⅰ）
，……2分
由
得
，……… 3分
所以
，( 4分)
所以
………6分
（Ⅱ）由f(B)=
1得
，解得
………8分
又由
知
，所以
………10分
由余弦定理知
=
所以
……… 12分
17．解：记“第一关第一次过关”为事件A1，“第一关第二次过关”为事件A2；记“第二关第一次过关”为事件B1，“第二关第二次过关”为事件B2；………1分
（Ⅰ）王同学获得1000元奖金的概率为：
则
………5分
（Ⅱ）王同学获得奖金额
可能取值为：0 元，1000 元， 4000 元
………6分
(7分) 
………8分
…………10分
(另解：
＝1－
－
＝
…………10分)
……… 12分
18. （本小题满分12分）
解（Ⅰ）证明：取
中点
，连接
,
,
又G为AD中点
， GH
， ………分
同理可证 
,
………3分
, 
……… 4分
（Ⅱ）延长CE，过D作DO垂直直线EC于O，易证DO⊥平面ABCE，AE⊥EC，AE⊥DE，二面角D－AE－C的平面角大小为
.
∴
∵DE＝
,∴OE=1,DO=2
以
为原点，
为y轴正方向建立坐标系O－xyz
（图略）
则D（0，0，2），A（2，1，0），E（0，1，0） ，C（0，2，0），B（2，2，0），
H（2，
，0），G（1，
，1），F（0，，0）………6分
，
∴异面直线GF与BD所成的角为
………8分
(Ⅲ)取DC中点P，易证OP⊥平面BCD，所以面BCD一个法向量为
…
9分
（0,1,0）, 
(-2,-2,2),设平面
的法向量为
,
取x=1,得y=0,z=1,得平面的一个法向量为
………
10分
∴
……… 11分
∴二面角A－BD－C的大小为120°。……… 12分
19．（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)第1年贷款（32000＋5000）万元，第2年5000×
万元…，第n年贷款5000×
万元 …1分
所以贷款总额为：
＝32000+5000＋5000×＋…＋5000×＝52000－20000
… 3分
同理：第1年利润4000万元，第2年利润4000×（1＋
）万元，…，
第n年利润4000×
万元 …………4分
＝4000＋4000×
＋……＋4000×＝12000［
－1］
………… 6分
(Ⅱ) 由题意
＞0， （7分） 12000［－1］>52000－20000
……8分
化简得，3×＋5×－16＞0?
…………9分
设x＝
，3x2－16x＋5＞0?∴x＜（舍)或x＞5 …………10分
?∴>5， 而
……………11分
∴n≥6. （12分） ∴经过6年公司总利润才能超过无息贷款总额 ………13分
20．（本小题满分13分）
解.(Ⅰ) 
）， 则 
………1分
因为
, 所以当
时，
对
恒成立，
故F(x)在（0，3）内单调递减，（2分 ），
而F(x)在x=3处连续 ， 所以
………3分
当
时，
时
，
时
，所以F(x)在
内单调递减，在
内单调递增。………4分
所以
………5分
综上所述，当时，
，当时，
。………6分
（Ⅱ）若
的图象与
的图象恰有四个不同交点， 即
有四个不同的根， ………7分
亦即 
有四个不同的根。 ………8分
令
，
则
。………………………9分
当
变化时
的变化情况如下表：
(-1,0)
(0,1)
(1,
)
的符号
+
-
+
-
的单调性
ㄊ
ㄋ
ㄊ
ㄋ
由表格知：
。………11分
画出草图和验证
可知，当
时，
高考资源网版权所有
……………12分
函数
的图象与
的图象恰好有四个不同的交点. …………………13分
21．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设A
，(
)
∵
，∴
……………1分
则A点的切线方程为
B点的切线方程为
…………2分
…………3分
P在直线
上 ∴
=
, ……………4分
|AF|+|BF|=
……………5分
……………6分
∵=,∴
，当且仅当
时取等号
∴ 
取值范围为
…………8分
（Ⅱ）∵
，∴
， ……………9分
设A，由（1）知
∴
…………10分
若G在抛物线C上，则
…………11分
…………12分
，而
故存在
使G在抛物线C上。 ……………13分
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com