资阳市2008―2009学年度高中三年级第三次高考模拟考试
数 学（理工农医类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．全卷共150分，考试时间为120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3．考试结束时，将本试卷和答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．
1．设全集U=R，集合
，集合
，则下列关系中正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
2．设i为虚数单位，复数
（A）-i （B）i （C）-2i （D）2i
3．已知函数
的最小正周期为
，则该函数图象的一个对称中心的坐标是
（A）
（B）
（C）
（D）
4．二项式
展开式中的第四项为
（A）-15 （B）15 （C）-20 （D）20
5．已知
，则
（A）5 （B）
（C）2 （D）1
6．如图，在正方体ABCD-A1B
（A）
（B）
（C）
（D）
7．在等差数列
中，
，
，则数列的公差等于
（A）1 （B）4 （C）5 （D）6
8．已知α、β是两个不重合的平面，l是空间一条直线，命题p：若α∥l，β∥l，则α∥β；命题q：若α⊥l，β⊥l，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是
（A）命题“p且q”为真 （B）命题“p或q”为假
（C）命题“p或q”为真 （D）命题“Øp”且“Øq”为真
9．如图3，椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，若以该椭圆的右焦点F2为圆心的圆经过坐标原点，且被椭圆的右准线分成弧长为
的两段弧，那么该椭圆的离心率等于
（A）
（B）
（C）
（D）
10．从A、B、C、D、E、F这6名运动员中选派4人参加4×100接力赛，参赛者每人只跑一棒，其中第一棒只能从A、B中选一人，第四棒只能从A、C中选一人，则不同的选派方案共有
（A）24种 （B）36种 （C）48种 （D）72种
11．过直线
上的一点作圆
的两条切线l1、l2，当直线l1，l2关于直线对称时，则直线l1、l2之间的夹角为
（A） （B） （C） （D）
12．在区间[0，1]上任意取两个实数a、b，则函数
在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为
（A）
（B）
（C）
（D）
资阳市2008―2009学年度高中三年级第三次高考模拟考试
数 学（理工农医类）
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
题号
二
三
总分
总分人
（17）
（18）
（19）
（20）
（21）
（22）
得分
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 把答案直接填在题目中的横线上．
13．已知函数
的反函数为
，则
= .
14．抛物线
上一点P到焦点F的距离为2，则点P的坐标是 .
15．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱底面边长为1，体积为
，则这个球体的表面积是_____________．
16．△ABC中
，角A、B、C对边分别为a、b、c，AH为BC边上的高，给出以下四个结论：①
；②
；③若
，则
为锐角三角形；④
．其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知
，
，其中
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
．
18．（本小题满分12分）
某校要组建一支篮球队，需要在高一各班选拔预备队员，按照投篮成绩确定入围选手，选拔过程中每人最多有5次投篮机会．若累计投中3次或累计3次未投中，则终止投篮，其中累计投中3次者直接入围，累计3次未投中者则被淘汰．已知某班学生甲每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
（Ⅰ）求学生甲最多投篮4次就入围的概率；
（Ⅱ）设学生甲投篮次数为随机变量x，写出
的分布列，并求的数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图4，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥A-BCE的体积．
20．（本小题满分12分）
已知函数
（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；
（Ⅱ）设不等式
的解集为P，且集合
，求实数t的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知动圆G过点
，并且与圆
相外切，记动圆圆心G的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）直线l过点M且与轨迹E交于P、Q两点：
①设点
，问：是否存在直线l，使
成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
②过P、Q作直线
的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记
，求
的取值范围．
22．（本小题满分14分）
数列{an}中，
，
，且
（其中n∈N*，c为常数，且
）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）证明不等式：
；
（Ⅲ）比较
与
的大小，并加以证明．
资阳市2008―2009学年度高中三年级第三次高考模拟考试
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．
1-5：CDACB； 6-10：ABCDB； 11-12：CD.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．
13．1； 14．
； 15．
； 16．①②④．
三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（Ⅰ）∵
，∴
，
∵
，∴
．?????????????????????????????????????????????????????????? 2分
则
???????????????????????????????????? 4分
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）
，，
，则
．???????????????????????? 8分
则
．?????????????????????????????????????????????????????? 10分
∵
，∴
，∴
．????????????????????????????????????????? 12分
18．解：（Ⅰ）设“学生甲投篮3次入围”为事件A；“学生甲投篮4次入围”为事件B，且事件A、B互斥． 1分
则
；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
故学生甲最多投篮4次就入围的概率为
．?????????????????????????? 6分
（Ⅱ）依题意，
的可能取值为3，4，5．则
，??????????????? 7分
，?????????????????????????????????????????????? 8分
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
则的分布列为：
3
4
5
P
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
故
．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
19．解：方法一 （Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF
平面ACD，
∴DE⊥AF．又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，因CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）延长DA，EB交于点H，连结CH，因为AB∥DE，AB=
DE，所以A为HD的中点．因为F为CD中点，所以CH∥AF，因为AF⊥平面CDE，所以CH⊥平面CDE，故∠DCE为面ACD和面BCE所成二面角的平面角，而△CDE是等腰直角三角形，则∠DCE=45°，则所求成锐二面角大小为45°．
???????????? 8分
（Ⅲ）
，因DE∥AB，故点E到平面ABC的距离h等于点D到平面ABC的距离，也即△ABC中AC边上的高
．??????????????????????????????????????????????????? 10分
∴三棱锥体积
．???????? 12分
方法二 （Ⅱ）取CE的中点Q，连接FQ，因为F为CD的中点，则FQ∥DE，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，建立如图坐标系，则F（0，0，0），C（
，0，0），A（0，0，
），B（0，1，
），E（1，2，0）．平面ACD的一个法向量为
， 5分
设面BCE的法向量
，
则
即
取
．
则
．???????????????????????????? 7分
∴面ACD和面BCE所成锐二面角的大小为45°．?????????? 8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知面BCE的一个法向量为，
．点A到BCE的距离
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
又
，
，
，△BCE的面积
．?? 11分
三棱锥A-BCE的体积
．??????????????????????????????????????????????????????? 12分
20．解：（Ⅰ）当
时，
，
．?????????????????????????????????????? 1分
由
，解得
；
，解得
．????????????????????????? 3分
∴函数
的单调递增区间是
；单调递减区间是
．????????????????????????? 4分
（Ⅱ）由不等式
的解集为P，且
，可知，对于任意
，不等式恒成立，即
即
在上恒成立．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
令
，∴
．???????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
当
时，
；当
时，
．
∴函数
在
上单调递增；在
上单调递减．????????????????????????????????????????? 10分
所以函数在
处取得极大值
，即为在上的最大值．
∴实数t的取值范围是
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
21．解：（Ⅰ）由已知 
，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支． 2分
设方程为
，则
，
，∴
．??????????????????????????????????????? 3分
故轨迹E的方程为
．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）①若存在．据题意，直线l的斜率存在且不等于0，设为k（k≠0），则l的方程为
，与双曲线方程联立消y得
，设
、
，
∴
解得
．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
由
知，△HPQ是等腰三角形，设PQ的中点为
，则
，即
． 6分
而
，
，即
．
∴
，即
，解得
或
，因，故．
故存在直线l，使成立，此时l的方程为
．???????????????????????? 8分
②∵
，∴直线
是双曲线的右准线，由双曲线定义得：
，
，∴
．???????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
方法一：当直线l的斜率存在时，∴
．∵，∴
，∴
.???????????????????????? 11分
当直线l的斜率不存在时，
，
，综上
.??????????????????????? 12分
方法二：设直线
的倾斜角为
，由于直线与双曲线右支有两个交点，
∴
，过Q作
，垂足为C，则
，
∴
，由，得
，
∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
22．（Ⅰ）解：
，
，∴
．??????????????????????? 2分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，
∴
，当且仅当
时，
．
∵a1=1，故
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
下面采用数学归纳法证明
．
当n=1时，a1=1<2，结论成立．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
假设n=k时，结论成立，即
，则n=k+1时，
，而函数
在
上单调递增，由
，
∴
，即当n=k+1时结论也成立．???????????????????????????????????????? 7分
综上可知：
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
（Ⅲ）解：由
，有
，
∴ ，∴
．?????????????????????????????? 10分
故
，
则
．????????????????????????????? 12分
由，
，求得
．
当n=1时，
；当n=2时，
；当n≥3时，由（Ⅱ）知
，有
． 14分
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