先阅读短文，再回答短文后面的问题．
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
下面根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程．
如上图，建立直角坐标系xoy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．设|KF|=p（p＞0），那么焦点F的坐标为（

p

2

，0），准线l的方程为x=-

p

2

．
设点M（x，y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d，由抛物线的定义，抛物线就是满足|MF|=d的点M的轨迹．
∵|MF|=

(x- p 2 )2+y2

，d=|x+

p

2

|∴

(x- p 2 )2+y2

=|x+

p

2

|
将上式两边平方并化简，得y²=2px（p＞0）①
方程①叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是（

p

2

，0），它的准线方程是x=-

p

2

．
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同．所以抛物线的标准方程还有其它的几种形式：y²=-2px，x²=2py，x²=-2py．这四种抛物线的标准方程，焦点坐标以及准线方程列表如下：

标准方程	交点坐标	准线方程
y2=2px（p＞0）	（ p 2 ，0）	x=- p 2
y2=-2px（p＞0）	（- p 2 ，0）	x= p 2
x2=2py（p＞0）	（0， p 2 ）	y=- p 2
x2=-2py（p＞0）	（0，- p 2 ）	y=- p 2

解答下列问题：
（1）①已知抛物线的标准方程是y²=8x，则它的焦点坐标是

 

，准线方程是

 

②已知抛物线的焦点坐标是F（0，-6），则它的标准方程是

 

．
（2）点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程．
（3）直线y=

3

x+b经过抛物线y²=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．

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（2003•黄石）先阅读下面一段材料，再完成后面的问题：
材料：过抛物线y=ax²（a＞0）的对称轴上一点（0，-）作对称轴的垂线l，则抛物线上任意一点P到点F（0，）的距离与P到l的距离一定相等，我们将点F与直线l分别称作这抛物线的焦点和准线，如y=x²的焦点为（0，）．
问题：若直线y=kx+b交抛物线y=x²于A、B、AC、BD垂直于抛物线的准线l，垂直足分别为C、D（如图）．
①求抛物线y=x²的焦点F的坐标；
②求证：直线AB过焦点时，CF⊥DF；
③当直线AB过点（-1，0），且以线段AB为直径的圆与准线l相切时，求这条直线对应的函数解析式．

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（2003•黄石）先阅读下面一段材料，再完成后面的问题：
材料：过抛物线y=ax²（a＞0）的对称轴上一点（0，-）作对称轴的垂线l，则抛物线上任意一点P到点F（0，）的距离与P到l的距离一定相等，我们将点F与直线l分别称作这抛物线的焦点和准线，如y=x²的焦点为（0，）．
问题：若直线y=kx+b交抛物线y=x²于A、B、AC、BD垂直于抛物线的准线l，垂直足分别为C、D（如图）．
①求抛物线y=x²的焦点F的坐标；
②求证：直线AB过焦点时，CF⊥DF；
③当直线AB过点（-1，0），且以线段AB为直径的圆与准线l相切时，求这条直线对应的函数解析式．

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先阅读下面一段材料，再完成后面的问题：
材料：过抛物线y=ax²（a＞0）的对称轴上一点（0，-

1

4a

）作对称轴的垂线l，则抛物线上任意一点P到点F（0，

1

4a

）的距离与P到l的距离一定相等，我们将点F与直线l分别称作这抛物线的焦点和准线，如y=x²的焦点为（0，

1

4

）．
问题：若直线y=kx+b交抛物线y=

1

4

x²于A、B、AC、BD垂直于抛物线的准线l，垂直足分别为C、D（如图）．
①求抛物线y=

1

4

x²的焦点F的坐标；
②求证：直线AB过焦点时，CF⊥DF；
③当直线AB过点（-1，0），且以线段AB为直径的圆与准线l相切时，求这条直线对应的函数解析式．

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

1-5：CDACB； 6-10：ABCDB； 11-12：CD.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．

13．1；  14．；  15．； 16．①②④．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（Ⅰ）∵，∴，

∵，∴．?????????????????????????????????????????????????????????? 2分

则???????????????????????????????????? 4分

．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），，，则．???????????????????????? 8分

则．?????????????????????????????????????????????????????? 10分

∵，∴，∴．????????????????????????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）设“学生甲投篮3次入围”为事件A；“学生甲投篮4次入围”为事件B，且事件A、B互斥．      1分

则；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

故学生甲最多投篮4次就入围的概率为．?????????????????????????? 6分

（Ⅱ）依题意，的可能取值为3，4，5．则，??????????????? 7分

，?????????????????????????????????????????????? 8分

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

则的分布列为：

3

4

5

P

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

故．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

19．解：方法一 （Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，

∴DE⊥AF．又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，因CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

  （Ⅱ）延长DA，EB交于点H，连结CH，因为AB∥DE，AB=DE，所以A为HD的中点．因为F为CD中点，所以CH∥AF，因为AF⊥平面CDE，所以CH⊥平面CDE，故∠DCE为面ACD和面BCE所成二面角的平面角，而△CDE是等腰直角三角形，则∠DCE=45°，则所求成锐二面角大小为45°．???????????? 8分

（Ⅲ），因DE∥AB，故点E到平面ABC的距离h等于点D到平面ABC的距离，也即△ABC中AC边上的高．??????????????????????????????????????????????????? 10分

∴三棱锥体积．???????? 12分

方法二  （Ⅱ）取CE的中点Q，连接FQ，因为F为CD的中点，则FQ∥DE，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，建立如图坐标系，则F（0，0，0），C（，0，0），A（0，0，），B（0，1，），E（1，2，0）．平面ACD的一个法向量为，      5分

设面BCE的法向量，则即取．

则．???????????????????????????? 7分

∴面ACD和面BCE所成锐二面角的大小为45°．?????????? 8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知面BCE的一个法向量为，．点A到BCE的距离．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

又，，，△BCE的面积．?? 11分

三棱锥A-BCE的体积．??????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ）当时，，．?????????????????????????????????????? 1分

由，解得；，解得．????????????????????????? 3分

∴函数的单调递增区间是；单调递减区间是．????????????????????????? 4分

（Ⅱ）由不等式的解集为P，且，可知，对于任意，不等式恒成立，即即在上恒成立．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

令，∴．???????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

当时，；当时，．

∴函数在上单调递增；在上单调递减．????????????????????????????????????????? 10分

所以函数在处取得极大值，即为在上的最大值．

∴实数t的取值范围是．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

21．解：（Ⅰ）由已知 ，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支．   2分

设方程为，则，，∴．??????????????????????????????????????? 3分

故轨迹E的方程为．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）①若存在．据题意，直线l的斜率存在且不等于0，设为k（k≠0），则l的方程为，与双曲线方程联立消y得，设、，

∴解得．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

由知，△HPQ是等腰三角形，设PQ的中点为，则，即．      6分

而，，即．

∴，即，解得或，因，故．

故存在直线l，使成立，此时l的方程为．???????????????????????? 8分

②∵，∴直线是双曲线的右准线，由双曲线定义得：，，∴．???????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

方法一：当直线l的斜率存在时，∴

．∵，∴，∴.???????????????????????? 11分

当直线l的斜率不存在时，，，综上.??????????????????????? 12分

方法二：设直线的倾斜角为，由于直线与双曲线右支有两个交点，

∴，过Q作，垂足为C，则，

∴，由，得，

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

22．（Ⅰ）解：，，∴．??????????????????????? 2分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，

∴，当且仅当时，．

∵a₁=1，故．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

下面采用数学归纳法证明．

当n=1时，a₁=1<2，结论成立．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

假设n=k时，结论成立，即，则n=k+1时，

，而函数在上单调递增，由，

∴，即当n=k+1时结论也成立．???????????????????????????????????????? 7分

综上可知：．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由，有，

∴ ，∴．?????????????????????????????? 10分

故，

则．????????????????????????????? 12分

由，，求得．

当n=1时，；当n=2时，；当n≥3时，由（Ⅱ）知，有．      14分