邯郸市2009年高三年级第一次模拟考试
数学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页 第Ⅱ卷3至4页 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷（选择题60分）
注意事项：
1 答题前，考生在答题卡上务必用直径0 5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目
2 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效
3 本卷共12小题，每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
参考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面积公式
如果事件相互独立，那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中事件恰好发生
次的概率
其中表示球的半径
一、 选择题（本大题共12个小题．每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设
,
,
则
2．复数
的虚部是
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
的图像与函数
的图像关于直线
对称，则
的解析式为
A.
B.
C.
D. 
4. 若ABCD为平行四边形，E是CD的中点，则
等于
A．
B. 
C. 
D. 
5. 在公差为2的等差数列
中，
成等比数列，则
A . 4 B . 6 C . 8 D . 10
6. 椭圆上一点P与椭圆中心及长轴一端点构成等腰直角三角形.则此椭圆的离心率为
A．
B. 
C.
D.
7. 已知定义在R上的函数在
是减函数，且
.又函数
关于直线
对称，则不等式
的解集为
A.
B .
C.
D. 
8. 各顶点都在一个球面上的正三棱锥高为1，侧棱与底面所成的角为
，则这个球的表面积是
A 
B 
C
D 
9. 若
，则
=
A．
B．
C．
D．
10.已知x和y是正整数，且满足约束条件
则z=2x+3y的最大值是
A . 27 B. 26 C. 24 D. 26.5
11.
的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同 的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成三角形的个数是
A. 120 B. 90 C. 100 D. 60
12. 在一个局部环境中，人口数量
随时间
的增长通常遵循逻辑斯谛（Logistic）增长曲线，如图所示，由该图可以得出如下判断：
①在
内，人口增长越来越快，在
上人口增长越来越慢；
②在内，人口增长越来越慢，在上人口增长越来越快；
③在
时，人口增长最快，随着时间的推移，人口数量将趋于平稳值
；
④在时，人口增长最慢，随着时间的推移，人口数量将趋于平稳值.
上述判断正确的是
A . ①③ B. ①④ C. ②③ D.②④
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 函数
的定义域为
;
14．已知
的展开式中
的系数为
,常数a的值为________;
15．已知点
、
，动点P满足
. 当点P的纵坐标是
时，点P到坐标原点的距离是
;
16. 两个边长分别为
的全等矩形
和
依等边
拼接为
的二面角，设
中点为
，
中点为
，
中点为
，则三角形
的面积为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知函数
，
.求:
(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量
的集合；
(II) 函数在
的单调减区间.
18．（本小题满分12分）
一个盒子装有3个白球，3个黑球，
（I）现从盒子中任取两个小球，求两球颜色相同的概率；
(II)现从盒子中逐一摸取小球，且每次取出后均不放回，若取到黑球则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数
的分布列和数学期望.
19．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，
AB＝AD＝1，BC＝2，又PB⊥平面ABCD，且PB＝1，点E在棱PD上，且DE＝2PE．
（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；
（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角A－PD－B的大小．
20．（本小题满分12分）
已知aÎR，试讨论函数f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数.
21．（本小题满分12分）
设为双曲线
上任意一点，
为双曲线的左右焦点，若
的最小值为
，双曲线的离心率为
.
(Ⅰ)求双曲线
的方程；
(Ⅱ)过双曲线的右焦点
的直线交双曲线于
两点，过
作右准线的垂线，垂足为
.求证：直线恒过定点.
22．（本小题满分12分）
在直角坐标系中，有一点列
，
，…，
，…对每一个正
整数
，点
在给定的函数
的图像上.若
,点(
)和点
与点
构成一个以为顶点的等腰三角形.
(Ⅰ)求点的纵坐标
的表达式；
(Ⅱ)记
，
.
;
(Ⅲ)若存在正数
，使得
≥
对一切均成立,求出的最大值.
一、选择题1B 2C 3D 4B 5A 6C 7D 8A 9A 10B 11B 12 A
二、填空题13、
14、4 ；15、
16、
或 
三、解答题
17．（10分）
解：（I）
当
,即
时, 
取得最大值
.
函数的取得最大值的自变量
的集合为
…………5分
(II)
由题意得: 
即 
又由
因此函数的单调减区间为
.……10分
18.（12分）解：（I）
………………4分
(II)ξ可取1，2，3，4.
，
； …………8分
故ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
……………………………………………………………10分
………………………12分
19.解：（Ⅰ）取BC中点F，连结AF，则CF＝AD，且CF∥AD，
∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥CD，
∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角 ……………………… 2分
∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF．
∵PB＝AB＝BF＝1，∴AB⊥BC，∴PA＝PF＝AF＝
．
∴△PAF是正三角形，∠PAF＝60°
即异面直线PA与CD所成的角等于60°．………4分
（Ⅱ）在Rt△PBD中，PB＝1，BD＝，∴PD＝
∵DE＝2PE，∴PE＝
则
，∴△PBE∽△PDB，∴BE⊥PD． …………………… 5分
由（Ⅰ）知，CF＝BF＝DF，∴∠CDB＝90°．
∴CD⊥BD．又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD．
∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥BE …………………………7分
∴BE⊥平面PCD． ………………………………………8分
（Ⅲ）连结AF，交BD于点O，则AO⊥BD．
∵PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABD，∴AO⊥平面PBD．
过点O作OH⊥PD于点H，连结AH，则AH⊥PD．
∴∠AHO为二面角A－PD－B的平面角． ………………………………… 10分
在Rt△ABD中，AO＝．
在Rt△PAD中，AH＝
．
在Rt△AOH中，sin∠AHO＝
．∴∠AHO＝60°．
即二面角A－PD－B的大小为60°………………………………………12分
20.（12分）
解：
……2分
令
=0，得 
（1）当
即
<0或>4时
有两个不同的实根
，
，不妨设<
于是
，从而有下表
x
x1
+
0
－
0
+
↑
为极大值
↓
为极小值
↑
即此时有两个极值点. ………6分
（2）当△=0即=0或=4时，方程
有两个相同的实根
于是
……… 8分
故当<时>0，当>时>0，因此无极值………10分
（3）当△<0即0<<4时
，故为增函数，此时无极值.
综上，当
无极值点
……… 12分
21.解：（Ⅰ）设：
，
，则
，因为
，所以
的最小值为
，
，又
，
，故双曲线
的方程为
.
-----------------4分
（Ⅱ）由可知
，相应准线为
，设过的直线为
，
代入中，消去可得，
????①
由题意知
，设
，则
是方程①的两个根，由韦达定理，得
，
将两式相除，得
因
，故直线
的斜率为
???????????8分
所以，直线的方程为
，将
代入方程中，整理可得
，所以直线恒过定点
. ???????12分
22. 解：（Ⅰ）由
得 
.当
时，因为
,
,
构成以
为顶点的等腰三角形,所以
又因为在函数
的图像上，所以
.()
又点
的坐标满足前式，所以，
（Ⅱ）因为
，
,所以
设
,则
.①
所以
②
由①和②得:
.
所以
<3…………………8分
（Ⅲ）由已知得
对一切均成立.
所以
>1
所以
单调递增.最小值为
.
又因为
对一切均成立.所以
.
……………… 12分
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