在直角坐标系中，有一点列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…对每一个正整数n，点P_n在给定的函数，y=log₃（2x）的图象上，点P_n和点（（n-1，0）与点（n，0）构成一个以P_n为顶点的等腰三角形．
（I） 求点P_n的纵坐标b_n的表达式；
（II） 记c_n=，n∈N₊．
①证明；
②是否存在实数k，使得对一切n∈N₊均成立，若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．

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在平面直角坐标系上，设不等式组

x＞0 y＞0 y≤-m(x-3)

（n∈N^*）
所表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点（即横坐标和纵坐标均
为整数的点）的个数为a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃并猜想a_n的表达式再用数学归纳法加以证明；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前项和为S_n，数列{

1

Sn

}的前项和T_n，
是否存在自然数m？使得对一切n∈N^*，T_n＞m恒成立．若存在，
求出m的值，若不存在，请说明理由．

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一、选择题1B   2C   3D   4B  5A  6C   7D   8A   9A   10B  11B   12 A

二、填空题13、   14、4    ；15、16、或

三、解答题

17．（10分）

解：（I）

当,即时, 取得最大值.

函数的取得最大值的自变量的集合为…………5分

 (II)由题意得:

即 又由因此函数的单调减区间为.……10分

18.（12分）解：（I） ………………4分

       (II)ξ可取1，2，3，4.

    ，

    ； …………8分

    故ξ的分布列为

ξ

1

2

3

4

P

                            ……………………………………………………………10分

    ………………………12分

19.解：（Ⅰ）取BC中点F，连结AF，则CF＝AD，且CF∥AD，

∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥CD，

∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角　………………………  2分

∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF．

∵PB＝AB＝BF＝1，∴AB⊥BC，∴PA＝PF＝AF＝．　

∴△PAF是正三角形，∠PAF＝60°　

即异面直线PA与CD所成的角等于60°．………4分                                   

（Ⅱ）在Rt△PBD中，PB＝1，BD＝，∴PD＝

∵DE＝2PE，∴PE＝

则，∴△PBE∽△PDB，∴BE⊥PD．　……………………     5分

由（Ⅰ）知，CF＝BF＝DF，∴∠CDB＝90°．

∴CD⊥BD．又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD．

∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥BE　…………………………7分

∴BE⊥平面PCD．　………………………………………8分

（Ⅲ）连结AF，交BD于点O，则AO⊥BD．

∵PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABD，∴AO⊥平面PBD．

过点O作OH⊥PD于点H，连结AH，则AH⊥PD．

∴∠AHO为二面角A－PD－B的平面角．　…………………………………     10分

在Rt△ABD中，AO＝．

在Rt△PAD中，AH＝．　

在Rt△AOH中，sin∠AHO＝．∴∠AHO＝60°．    

即二面角A－PD－B的大小为60°………………………………………12分

20.（12分）

解：……2分

令=0，得

（1）当

即<0或>4时有两个不同的实根，，不妨设<

于是，从而有下表

x

x₁

+

0

－

0

+

↑

为极大值

↓

为极小值

↑

即此时有两个极值点. ………6分

（2）当△=0即=0或=4时，方程有两个相同的实根于是………                       8分

故当<时>0，当>时>0，因此无极值………10分

（3）当△<0即0<<4时

，故为增函数，此时无极值.

综上，当无极值点

………  12分

21.解：（Ⅰ）设： ，，则，因为，所以的最小值为，，又，，故双曲线的方程为.                                            -----------------4分

（Ⅱ）由可知，相应准线为，设过的直线为，

代入中，消去可得，????①

由题意知，设，则是方程①的两个根，由韦达定理，得，将两式相除，得

因，故直线的斜率为

???????????8分

所以，直线的方程为，将代入方程中，整理可得，所以直线恒过定点.    ???????12分                          

22. 解：（Ⅰ）由得 .当时，因为,,构成以为顶点的等腰三角形,所以

       又因为在函数的图像上，所以.()

  又点的坐标满足前式，所以，

 （Ⅱ）因为，,所以

       设,则.①

       所以 ②

       由①和②得:.

       所以

   <3…………………8分

       （Ⅲ）由已知得对一切均成立.

       所以

       >1

       所以单调递增.最小值为.

又因为对一切均成立.所以.………………   12分