北京明光中学2009届高三教学检测数学试题

　一.选择题（每题5分，共60分）。
1、已知集合，则集合=（　　 ）
　　A．{}　 　　　 B．{}　　　　　
　　C．{} 　　 D．{}
2、设实数a∈[-1,3], 函数f(x)=x²-(a+3)x+2a，当f(x)>1时，实数x的取值范围是（　　 ）
　　A、[-1,3]　　 B、(-5,+∞)　　 C、(-∞,-1)∪(5,+∞)　　 D、(-∞,1)∪(5,+∞)
3、已知函数f(x)=在区间[2，+∞）是减函数，则实数a的取值范围是（　　 ）
　　A、（-∞，4） 　　B、（0,12）　　C、（-4，4）　　D、（0,4）
4、已知函数，那么f^-1(1)的值等于（ 　　）。
　A、0　　 B、-2　　 C、　　 D、
5、将y=2^x的图象（　　 ），再作关于直线y=x对称的图象，可得函数y=log₂(x+1)的图象。
　　A、先向左平移一个单位　　 B、先向右平移一个单位
　　C、先向上平移一个单位　　 D、先向下平移一个单位
6、一个棱锥被平行于底面的截面截成一个小棱锥和一个棱台（用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台），若小棱锥的体积为y，棱台的体积为x，则y关于x的函数图象大致形状为（　 　）。

　　
7、已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的 （　　 ）
　　(A)必要而不充分条件　　 (B)充分而不必要条件
　　(C)充要条件　　　　　　 (D)既不充分也不必要条件
8、如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点。那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于（　　 ）

(A)　　(B)　　(C)　　(D)
9、若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（　　 ）
　　(A)　　(B)
　　(C)　　(D)
10、函数)为增函数的区间是(　　 )
　　(A)　　(B)　　(C)　　(D)
11、已知向量a、b满足：|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|=（　　 ）
　　A．1　　B．　　C．　　D．
12、已知函数f(x)定义域为R，则下列命题：
　　①y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图象关于y轴对称.
　　②y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)关于直线x=2对称.
　　③若函数f(2x+1)是偶函数，则f(2x)的图象关于直线 对称.
　　④若f(x-2)=f(2-x)，则y=f(x)关于直线x=2对称.
　　⑤y=f(x-2)和y=f(2-x)的图象关于x=2对称.
　　其中正确的命题序号是(　　 )
　　A、①②④　 　B、①③④　　 C、②③⑤　　 D、②③④

　　二. 填空题（每题5分，共20分）。
　　13、设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有________种（用数字作答）。
14、若，则。(用数字作答)
15、两个篮球运动员在罚球时投球的命中率为0.7和0.6，每人投篮三次，则两人都恰好进2球的概率是______。(用数字作答,精确到千分位)
16、曲线关于直线x=2对称的曲线方程是___________。

三、解答题（共70分）
17、（本题满分14分） 在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且。
Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求bc的最大值。
18、（本题满分14分）
　　如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。
　　(I)证明 平面；
　　(II)证明平面EFD；
　　

试题详情

　　一.选择题（ 5分 × 12 = 60 分 ）

题号

1

2

3

4

5

6

答案

C

C

C

A

D

C

题号

7

8

9

10

11

12

答案

B

B

A

C

D

C

　　二.填空题（ 5分 × 4 = 20分 ）

　　13、5　　14、1　　15、0.19　　16、

　　三、解答题（共70分）

　　17、（本题满分14分）
　　在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且。
　　（Ⅰ）求的值；
　　（Ⅱ）若，求bc的最大值。

　　解: (Ⅰ) 　　=
　　= 　　= 　　=

　　(Ⅱ) ∵ 　　∴ ,
　　又∵ 　　∴ 　　当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.

　　18、（本题满分14分）
　　如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。
　　(I)证明 平面；
　　(II)证明平面EFD；
　　(III)求二面角的大小。

　　方法一：
　　(I)证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。
　　底面ABCD是正方形，点O是AC的中点
　　在中，EO是中位线，。
　　而平面EDB且平面EDB，
　　所以，平面EDB。

　　(II)证明：底在ABCD且底面ABCD，
　　 ①
　　同样由底面ABCD，得
　　底面ABCD是正方形，有平面PDC
　　而平面PDC， ②　　　　 ………………………………6分
　　由①和②推得平面PBC
　　而平面PBC，
　　又且，所以平面EFD

　　(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角
　　由(II)知，
　　设正方形ABCD的边长为，则
　　
　　在中，
　　
　　在中，
　　
　　所以，二面角的大小为

　　方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设
　　(I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。
　　依题意得
　　底面ABCD是正方形，
　　是此正方形的中心，
　　故点G的坐标为且
　　
　　。这表明。
　　而平面EDB且平面EDB，平面EDB。

　　(II)证明：依题意得。又故
　　
　　
　　由已知，且所以平面EFD。

　　(III)解：设点F的坐标为则
　　
　　从而所以
　　
　　由条件知，即
　　解得 。
　　点F的坐标为且
　　
　　
　　即，故是二面角的平面角。
　　且
　　
　　
　　
　　所以，二面角的大小为

　　19、（本题满分14分）
　　盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）。记第一次与第二次取到球的标号之和为。
　　（Ⅰ）试用列举法表示随机变量的取值集合；
　　（Ⅱ）求随机变量任取集合中每一个值的概率。
　　解:
　　（Ⅰ）由题意可得,随机变量的取值集合是={2、3、4、6、7、10}。

　　（Ⅱ）随机变量取集合={2、3、4、6、7、10}中的每一个值时，其概率如下：

2

3

4

6

7

10

P（）

0.09

0.24

0.16

0.18

0.24

0.09

　　20、（本题满分14分）
　　设a>0，是奇函数。
　　（1）试确定a的值；
　　（2）试判断f(x)的反函数f^-1(x)的单调性，并证明。
　　解：
　　（1）∵ f(x)为奇函数， ∴ f(x)+f(-x)=0
　　即对定义域内x均成立，
　　解得a=1，即 。

　　因 得，
　　则，
　　∴ f^-1(x₁)<f^-1(x₂)，即f^-1(x)为增函数。

　　21、（本题满分14分）
　　一条斜率为1的直线l与离心率的双曲线(a>0, b>0)交于P、Q两点，直线l与y轴交于R点，且，求直线和双曲线方程。

　　解：∵ ， ∴ b²=2a²，∴ 双曲线方程可化为2x²-y²=2a²,
　　设直线方程为 y=x+m,
　　由得 x²-2mx-m²-2a²=0,
　　∴ Δ=4m²+4(m²+2a²)>0
　　∴ 直线一定与双曲线相交。
　　设P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂), 则x₁+x₂=2m, x₁x₂=-m²-2a²,
　　∵ ， ,
　　∴ , ∴
　　消去x₂得，m²=a²,
　　=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(x₁+m)(x₂+m)
　　=2x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²=m²-4a²=-3
　　∴ m=±1, a²=1, b²=2.
　　直线方程为y=x±1，双曲线方程为。