查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

　　一.选择题（ 5分 × 12 = 60 分 ）

题号

1

2

3

4

5

6

答案

C

C

C

A

D

C

题号

7

8

9

10

11

12

答案

B

B

A

C

D

C

　　二.填空题（ 5分 × 4 = 20分 ）

　　13、5　　14、1　　15、0.19　　16、

　　三、解答题（共70分）

　　17、（本题满分14分）
　　在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且。
　　（Ⅰ）求的值；
　　（Ⅱ）若，求bc的最大值。

　　解: (Ⅰ) 　　=
　　= 　　= 　　=

　　(Ⅱ) ∵ 　　∴ ,
　　又∵ 　　∴ 　　当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.

　　18、（本题满分14分）
　　如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。
　　(I)证明 平面；
　　(II)证明平面EFD；
　　(III)求二面角的大小。

　　方法一：
　　(I)证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。
　　底面ABCD是正方形，点O是AC的中点
　　在中，EO是中位线，。
　　而平面EDB且平面EDB，
　　所以，平面EDB。

　　(II)证明：底在ABCD且底面ABCD，
　　 ①
　　同样由底面ABCD，得
　　底面ABCD是正方形，有平面PDC
　　而平面PDC， ②　　　　 ………………………………6分
　　由①和②推得平面PBC
　　而平面PBC，
　　又且，所以平面EFD

　　(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角
　　由(II)知，
　　设正方形ABCD的边长为，则
　　
　　在中，
　　
　　在中，
　　
　　所以，二面角的大小为

　　方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设
　　(I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。
　　依题意得
　　底面ABCD是正方形，
　　是此正方形的中心，
　　故点G的坐标为且
　　
　　。这表明。
　　而平面EDB且平面EDB，平面EDB。

　　(II)证明：依题意得。又故
　　
　　
　　由已知，且所以平面EFD。

　　(III)解：设点F的坐标为则
　　
　　从而所以
　　
　　由条件知，即
　　解得 。
　　点F的坐标为且
　　
　　
　　即，故是二面角的平面角。
　　且
　　
　　
　　
　　所以，二面角的大小为

　　19、（本题满分14分）
　　盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）。记第一次与第二次取到球的标号之和为。
　　（Ⅰ）试用列举法表示随机变量的取值集合；
　　（Ⅱ）求随机变量任取集合中每一个值的概率。
　　解:
　　（Ⅰ）由题意可得,随机变量的取值集合是={2、3、4、6、7、10}。

　　（Ⅱ）随机变量取集合={2、3、4、6、7、10}中的每一个值时，其概率如下：

2

3

4

6

7

10

P（）

0.09

0.24

0.16

0.18

0.24

0.09

　　20、（本题满分14分）
　　设a>0，是奇函数。
　　（1）试确定a的值；
　　（2）试判断f(x)的反函数f^-1(x)的单调性，并证明。
　　解：
　　（1）∵ f(x)为奇函数， ∴ f(x)+f(-x)=0
　　即对定义域内x均成立，
　　解得a=1，即 。

　　因 得，
　　则，
　　∴ f^-1(x₁)<f^-1(x₂)，即f^-1(x)为增函数。

　　21、（本题满分14分）
　　一条斜率为1的直线l与离心率的双曲线(a>0, b>0)交于P、Q两点，直线l与y轴交于R点，且，求直线和双曲线方程。

　　解：∵ ， ∴ b²=2a²，∴ 双曲线方程可化为2x²-y²=2a²,
　　设直线方程为 y=x+m,
　　由得 x²-2mx-m²-2a²=0,
　　∴ Δ=4m²+4(m²+2a²)>0
　　∴ 直线一定与双曲线相交。
　　设P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂), 则x₁+x₂=2m, x₁x₂=-m²-2a²,
　　∵ ， ,
　　∴ , ∴
　　消去x₂得，m²=a²,
　　=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(x₁+m)(x₂+m)
　　=2x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²=m²-4a²=-3
　　∴ m=±1, a²=1, b²=2.
　　直线方程为y=x±1，双曲线方程为。