2009年河南省焦作市高三第一次质量检测题
数学(文)
命题:武陟一中:张六军沁阳一中:尚思红
焦作一中:刘晓静市教研室:焦金安
审校:焦作市外国语中学:卫月亲
注意:
1、本试卷分选择题和非选择题两部分,共10页(其中试题卷4页,答题卷6页),共150分,考试时间120分钟;
2、请在答题卷上书写解答,在试题卷上解答的无效.
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么球的表面积公式
P(A+B)＝ P(A)+P(B) S＝ 4πR2
如果事件A、B相互独立,那么 其中R表示球的半径
P(A?B)＝ P(A)?P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率 V＝ πR3
是P,那么n次独立重复试验中恰好 其中R表示球半径
发生k次的概率
Pn(k)＝ CknPk(1－P)n－k(k＝ 0,1,2……,n)
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合
=
,
,则
= （ ）
A．
B. 
C． 
D .
2. 若函数
，则
是（ ）
A．最小正周期为
的奇函数 B．最小正周期为
的奇函数
C．最小正周期为
的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
3. 已知p：<1, q：x(x-3)<0，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件已知对任意实数给出下列关 4. 已知两条直线m、n,两个平面α、β,给出下面四个命题:
①m∥n,m⊥α则?n⊥α ②α∥β,m
α,nβ则?m∥n
③m∥n,m∥α则?n∥α ④α∥β,m∥n,m⊥α则?n⊥β
其中正确命是（ ）
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
5.已知
是等差数列，
，
，则该数列前8项和
等于（ ）
A．64 B．
6. 
下列函数图中，正确的是 线
上以点
为切点的切线方程是（
）
A.
B.
C.
D.
8. 过点A（0,3），被圆（x－1)2＋y2＝4截得的弦长为2的直线方程是（ ）
A．y＝- x+3 B．x＝0或y＝- x+3
C．x＝0或y＝ x－3 D．x＝0
9.如图，已知
，用
表示
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10. 如图,A、B、C分别是椭圆+＝ 1(a＞b＞0)的顶点与焦点,若∠ABC＝ 90°,则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知正方体的棱长为1，球O与正方体体的各都相切，则球O的表面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知全集
,集合A、B都是U的子集，当
时，我们把这样的（A，B）称为“理想集合对”，那么这样的“理想集合对”一共有（
）
A．８对 B．２０对 C．２７对 D．３６对
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.
13． 已知
，则
.
14．当x＞2时，使不等式x+ ≥a恒成立的实数a的取值范围是 .
15．15.已知实数x、y满足,则的取值范围是 .
16．若ㄏy－2xㄏ＝ x2,其中－1＜x＜0,则实数y的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知、
、
三点的坐标分别为
、
、
，
若
，
求
的值.
18．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.(游览的景点数可以为0.)
(Ⅰ)求ξ＝ 3时的概率;
(Ⅱ)求ξ取其它值时的概率.
19．如图，正三棱柱ABC－A1B
（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小.
20．设是公比大于1的等比数列，
为数列的前
项和．已知
，且
构成等差数列．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)令
求数列
的前项和
．
21．已知函数f(x)＝ x3+x2－a2x(a＞0),f(x)在x＝ x1,x＝ x2时有极值,且x2－x1＝ 2.
(Ⅰ)求a、b的关系式;
(Ⅱ)证明:|b|≤
.
22．已知两定点
，满足条件
的点
的轨迹是曲线
，直线
与曲线交于
两点
（Ⅰ）求
的取值范围；
（Ⅱ）如果
，且曲线上存在点，使
，求
的值和
的面积
.
一． ADBCA CABBA BC
二．
13.3； 14.（-∞，4]； 15. 
； 16. 
.
三．
１７. 解：解：由
，得
…3分
………………6分
又
= 
。………10分
１８. 解:(I)分别记“客人游览甲景点”,“客人游览乙景点”,“客人游览丙景点”为事件A1,A2,A3.由已知A1,A2,A3相互独立,P(A1)＝ 0.4,P(A2)＝ 0.5,P(A3)＝ 0.6.
P(ξ＝ 3)＝ P(A1?A2?A3)+P(A1?A2?A3)
＝ P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3))
＝ 2×0.4×0.5×0.6＝
(Ⅱ)客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3.相应地,客人没有游览的景点数的可能取值为3,2,1,0,所以ξ的可能取值为1,3.∴P(ξ＝ 1)＝ 1－0.24＝ 0.76. ………12分
19、解：解法一：（Ⅰ）取
中点
，连结
．
为正三角形，
．
正三棱柱
中，平面
平面
，
平面．
连结
，在正方形
中，
分别为
的中点，
，
．………………………………….3分
在正方形
中，
，
平面
．………………………………….5分
（Ⅱ）设
与
交于点
，在平面中，作
于
，连结
，由（Ⅰ）得
平面．
，
为二面角
的平面角．………………………………….9分
在
中，由等面积法可求得
，
又
，
．
所以二面角的正弦值
．………………………………….12分
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．＄
平面．
取
中点
，以为原点，
，
，
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
…….3分
，
，
．
，
，
，
．
平面．………………………………….6分
（Ⅱ）设平面
的法向量为
．
，
．
，
，
令
得
为平面的一个法向量．…………………………9分
由（Ⅰ）知平面，
为平面的法向量．
，
．
二面角的正弦值…………………………12
２０.
解：（1）由已知得
解得
．
设数列
的公比为
，由，可得
．
又
，可知
，
即
，
解得
．
由题意得
．
．
故数列的通项为
．…………6
（2）由于
由（1）得
又
是等差数列．
=
=
故
．…………………………12
21.解：解:(Ⅰ)由题意知f′(x)＝ ax2+bx－a2,且f′(x)＝ 0的两根为x1、x2.
∴x1+x2＝ － x1x2＝ －a.
∴(x2－x1)2＝ (x2+x1)2－4x1x2＝ 4.
∴()2+
∴b2＝ (4－
(Ⅱ)由(1)知b2＝ (4－
令函数g(a)＝ (4－
g′(a)＝
－
令g'(a)＝ 0 ∴a1＝ 0,a2＝ .
函数g(a)在(0,)上为增函数,(,1)上为减函数.
∴g(a)max＝ g()＝ .
∴b2≤.
∴|b|≤.…………………………12分
22.解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线
是以
为焦点的双曲线的左支，且
，易知
故曲线的方程为
…………………………3
设
，由题意建立方程组
消去
，得
又已知直线与双曲线左支交于两点
，有
解得
………………5
∵ 
依题意得 
整理后得
∴
或
但 ∴
故直线
的方程为
…………………………8
设
，由已知
，得
∴
，
又
，
∴点
将点
的坐标代入曲线的方程，得
得
，
但当
时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴
.…………………………10
点的坐标为
到的距离为
∴
的面积
…………………………12
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