科目：gzsx 来源： 题型：

给出下列四个命题：
①命题“若α=

π

4

，则tanα=1”的否命题是“若α≠

π

4

，则tanα≠1”；
②命题：“若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”．用反证法证明则假设是：“假设a，b，c中至多有两个是偶数”；
③已知A（1，0），B（-1，0），点C是圆x²+y²-6x-8y+21=0上的动点，则△ABC面积最大值是4；
④若函数f（x）=

1

3

x³-x²+ax+10在区间[-1，4]上是单调函数，则实数a的取值范围是（-∞，-8]∪[-3，+∞）．
其中正确命题的序号是

．

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科目：czsx 来源： 题型：

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
根据上述材料填空：
已知：x₁、x₂是方程x²-4x+2=0的两个实数根，则（x₁-1）（x₂-1）=

1

．

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科目：czsx 来源： 题型：

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．根据上述材料填空：已知x₁、x₂是方程x²+4x+2=0的两个实数根，则

x2

x1

+

x1

x2

=

6

；（x₁-2）（x₂-2）=

14

．

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科目：czsx 来源： 题型：

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：
（1）应用一：用来检验解方程是否正确．
检验：先求x₁+x₂=

-

b

a

-

b

a

，x₁x₂=

c

a

c

a

．
再将你解出的两根相加、相乘，即可判断解得的根是否正确．（本小题完成填空即可）
（2）应用二：用来求一些代数式的值．
①已知：x₁、x₂是方程x²-4x+2的两个实数根，求（x₁-1）（x₂-1）的值；
②若a、b是方程x²+2x-2013=0的两个实数根，求代数式a²+3a+b的值．

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科目：czsx 来源： 题型：

若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为系数且为常数）的两个根，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．这个定理叫做韦达定理．
如：x₁，x₂是方程x²+2x-1=0的两个根，则x₁+x₂=-2、x₁•x₂=-1
已知：M、N是方程x²-x-1=0的两根，
记S₁=M+N；S₂=M²+N²，…S_n=M^m+Nⁿ

(1)S1=_____，S2=______，S3=_______，S4=_______，(直接写出答案)

(2)当n为不小于3的整数时，有(1)猜想Sn、Sn-1、Sn-2之间有何关系？

(3)利用(2)猜想[

1+

5

2

]8+[

1-

5

2

]8

．

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科目：czsx 来源： 题型：解答题

若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实数根分别为x₁，x₂，则 $数学公式$ ， $数学公式$ ．
解决下列问题：
已知：a，b，c均为非零实数，且a＞b＞c，关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根，其中一根为2．
（1）填空：4a+2b+c0，a0，c__0；（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）利用阅读材料中的结论直接写出方程ax²+bx+c=0的另一个实数根（用含a，c的代数式表示）；
（3）若实数m使代数式am²+bm+c的值小于0，问：当x=m+5时，代数式ax²+bx+c的值是否为正数？写出你的结论并说明理由．

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科目：czsx 来源： 题型：填空题

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x₁+x₂=- $数学公式$ ，x₁x₂= $数学公式$ ．根据上述材料填空：已知x₁、x₂是方程x²+4x+2=0的两个实数根，则 $数学公式$ =；（x₁-2）（x₂-2）=．

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科目：czsx 来源： 题型：解答题

若x₁，x₂是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x₁，x₂和系数a，b，c有如下关系：x₁+x₂=- $数学公式$ ，x₁•x₂= $数学公式$ ，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理，请利用此定理解答一下问题：
已知x₁，x₂是一员二次方程（m-3）x²+2mx+m=0的两个实数根．
（1）是否存在实数m，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立？若存在，求出m的值，若不存在，请你说明理由；
（2）若|x₁-x₂|= $数学公式$ ，求m的值和此时方程的两根．

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科目：czsx 来源： 题型：解答题

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系： $数学公式$ ， $数学公式$ ．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：
（1）应用一：用来检验解方程是否正确．
检验：先求x₁+x₂=，x₁x₂=．
再将你解出的两根相加、相乘，即可判断解得的根是否正确．（本小题完成填空即可）
（2）应用二：用来求一些代数式的值．
①已知：x₁、x₂是方程x²-4x+2的两个实数根，求（x₁-1）（x₂-1）的值；
②若a、b是方程x²+2x-2013=0的两个实数根，求代数式a²+3a+b的值．

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科目：czsx 来源：不详 题型：填空题

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．根据上述材料填空：已知x₁、x₂是方程x²+4x+2=0的两个实数根，则

x2

x1

+

x1

x2

=______；（x₁-2）（x₂-2）=______．

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科目：czsx 来源：2012-2013学年江苏省无锡市江阴市长泾中学九年级（上）第一次月考数学试卷（解析版） 题型：填空题

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x₁+x₂=-

，x₁x₂=

．根据上述材料填空：已知x₁、x₂是方程x²+4x+2=0的两个实数根，则

= ；（x₁-2）（x₂-2）= ．

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科目：czsx 来源：2013年甘肃省兰州市中考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

若x₁，x₂是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x₁，x₂和系数a，b，c有如下关系：x₁+x₂=-

，x₁•x₂=

，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理，请利用此定理解答一下问题：
已知x₁，x₂是一员二次方程（m-3）x²+2mx+m=0的两个实数根．
（1）是否存在实数m，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立？若存在，求出m的值，若不存在，请你说明理由；
（2）若|x₁-x₂|=

，求m的值和此时方程的两根．

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科目：czsx 来源：河北省期中题 题型：填空题

若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两实根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x₁+x₂=﹣

，x₁ x₂=

．根据上述材料填空：已知方程x²﹣5x+2=0的两个根分别为x₁、x₂，则x₁+x₂﹣x₁x₂的值为=_________．

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科目：czsx 来源：河北省模拟题 题型：填空题

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x₁+x₂=-

，x₁x₂=

，根据上述材料填空：
已知x₁、x₂是方程x²+4x+2=0的两个实数根，则

=（）。

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科目：czsx 来源： 题型：

设一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，根据根与系数的关系，则有x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．根据以上材料，解答下列问题．已知关于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若|x₁+x₂|=x₁x₂-1，求k的值．

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科目：czsx 来源： 题型：

如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根是x₁、x₂，那么利用公式法写出两个根x₁、x₂，通过计算可以得出：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．由此可见，一元二次方程两个根的和与积是由方程的系数决定的．这就是一元二次方程根与系数的关系．请利用上述知识解决下列问题：
（1）若方程2x²-4x-1=0的两根是x₁、x₂，则x₁+x₂=

2

，x₁x₂=

-

1

2

-

1

2

．
（2）已知方程x²-4x+c=0的一个根是2+

3

，请求出该方程的另一个根和c的值．

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科目：czsx 来源： 题型：解答题

如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根是x₁、x₂，那么利用公式法写出两个根x₁、x₂，通过计算可以得出：x₁+x₂=- $数学公式$ ，x₁x₂= $数学公式$ ．由此可见，一元二次方程两个根的和与积是由方程的系数决定的．这就是一元二次方程根与系数的关系．请利用上述知识解决下列问题：
（1）若方程2x²-4x-1=0的两根是x₁、x₂，则x₁+x₂=，x₁x₂=．
（2）已知方程x²-4x+c=0的一个根是2+ $数学公式$ ，请求出该方程的另一个根和c的值．

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科目：czsx 来源： 题型：解答题

20．若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：
x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$
根据上述材料计算：
已知x₁、x₂是方程x²+4x+2=0的两个实数根，求下列代数式的值．
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$
（2）x₁²+x₂²
（3）（x₁-1）（x₂-1）

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科目：czsx 来源： 题型：解答题

19．若x₁、x₂是关于x一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x₁、x₂和系数a、b、c有如下关系：x₁+x₂=$-\frac{b}{a}$，x${\;}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}$，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的两个实数根．
（1）若（x₁-1）（x₂-1）=28，求m的值．
（2）已知等腰△ABC的一腰长为7，若x₁、x₂恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

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科目：czsx 来源： 题型：阅读理解

阅读下面一段文字：“一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的情况有三种：
①当b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
③当b²-4ac＜0时，方程没有实数根．”请利用以上结论，解答下面的问题：
已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4（k-

1

2

）=0．
（1）判断这个一元二次方程的根的情况；
（2）若等腰三角形的一边长为4，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．

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练习册

高中

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小学

已知一个一元二次方程ax2+bx+c=0若答案解析

练习册

高中

初中

小学

已知一个一元二次方程ax2+bx+c=0若答案解析

若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=-，x1x2=．根据上述材料填空：已知x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则=________；（x1-2）（x2-2）=________．