Question

19．若x₁、x₂是关于x一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x₁、x₂和系数a、b、c有如下关系：x₁+x₂=$-\frac{b}{a}$，x${\;}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}$，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的两个实数根．
（1）若（x₁-1）（x₂-1）=28，求m的值．
（2）已知等腰△ABC的一腰长为7，若x₁、x₂恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

Answer 1

分析 （1）根据韦达定理得x₁+x₂、x₁x₂，再代入到（x₁-1）（x₂-1）=28即x₁x₂-（x₁+x₂）+1=28中解方程可得m的值，两个值根据方程有解考虑取舍；
（2）将x=7代入方程求出m的值，将m的两个值分别代回原方程，分别解每一个方程求出x的值，根据三角形三边关系取舍，最后三边相加可得周长．

解答 解：（1）∵x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=m²+5，
∵（x₁-1）（x₂-1）=28，即x₁x₂-（x₁+x₂）+1=28，
∴m²+5-2（m+1）+1=28，解得：m=-4或m=6，
当m=-4时原方程无解，
∴m=6；
（2）当等腰三角形的腰长为7时，即方程的一个解为7，
将x=7代入原方程得：49-14（m+1）+m²+5=0，
解得：m=10或m=4，
当m=10时，方程为x²-22x+105=0，解得：x=7或x=15，
∵7+7＜15，不能组成三角形；
当m=4时，方程为x²-10x+21=0，解得：x=3或x=7，
此时三角形的周长为：7+7+3=17．

点评 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、解方程、等腰三角形性质等知识点，根据韦达定理得到此方程的两根和与两根积是解题的根本，熟悉方程的解及三角形三边关系是第2题的关键．