Question

9．在平面直角坐标系中有一个正方形OACB，点A坐标为（4，0），M、N分别是OA、AC上的两个动点，当M点在OA上运动时，一直保持BM和MN垂直．
（1）证明：Rt△BOM∽RtMAN；
（2）设OM=x，梯形BOAN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）当点M点运动到什么位置时S_△BOM：S_MAN=9：1，求x的值，并求出此时点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）由BM与MN垂直，利用垂直的定义及平角定义得到一对角互余，再由直角三角形BOM中两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）由相似得比例，表示出AN，利用梯形面积公式列出y与x的函数关系式即可；
（3）由三角形BOM与三角形MAN面积之比求出相似比，确定出x的值，即可求出N坐标．

解答 解：（1）∵BM⊥MN，
∴∠BMN=90°，即∠BMO+∠AMN=90°，
∵∠BMO+∠OBM=90°，
∴∠AMN=∠OBM，
∵正方形OBCA中，∠BOM=∠MAN=90°，
∴Rt△BOM∽Rt△MAN；
（2）∵△BOM∽△MAN，
∴$\frac{BO}{MA}$=$\frac{OM}{AN}$，
∵A（4，0），正方形OBCA，
∴OB=OA=4，
∵OM=x，
∴AM=4-x，
∴$\frac{4}{4-x}$=$\frac{x}{AN}$，即AN=$\frac{x（4-x）}{4}$，
则梯形BOAN面积y=$\frac{1}{2}$（AN+OB）•OA=2[$\frac{x（4-x）}{4}$+4]=$\frac{x（4-x）}{2}$+8=-$\frac{1}{2}$x²+2x+8；
（3）∵△BOM∽△MAN，且S_△BOM：S_MAN=9：1，
∴$\frac{BO}{MA}$=$\frac{OM}{AN}$=3：1=3，
∴$\frac{4}{4-x}$=3，即x=$\frac{8}{3}$，
∴AN=$\frac{\frac{8}{3}×（4-\frac{8}{3}）}{4}$=$\frac{8}{9}$，
则N（4，$\frac{8}{9}$）．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，正方形的性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．