设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N*，S_n是a_n²和a_n的等差中项．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜2；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式S_n-1005＞

a 2 n

2

恒成立，求这样的正整数m共有多少个？

设数列a₁，a₂，…，a_n，…的前n项的和S_n与a_n的关系是Sn=-ban+1-

1

(1+b)n

，其中b是与n无关的常数，且b≠-1．
（1）求a_n和a_n-1的关系式；
（2）写出用n和b表示a_n的表达式；
（3）当0＜b＜1时，求极限

lim

n→∞

Sn．

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*），其中a，c为实数，且c≠0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a=

1

2

，c=

1

2

，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

设数列a₁，a₂，…，a_n，…的前n项的和S_n与a_n的关系是S_n=ka_n+1，（其中k是与n无关的常数，且k≠1）．
（1）试写出用n，k表示的a_n的表达式；
（2）若

lim

n→∞

sn=1，求k的取值范围．

设数列{a_n}是一个无穷数列，记Tn=

n+2

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1，n∈N^*．
（1）若{a_n}是等差数列，证明：对于任意的n∈N^*，T_n=0；
（2）对任意的n∈N^*，若T_n=0，证明：a_n是等差数列；
（3）若T_n=0，且a₁=0，a₂=1，数列b_n满足bn=2an，由b_n构成一个新数列3，b₂，b₃，…，设这个新数列的前n项和为S_n，若S_n可以写成a^b，（a，b∈N，a＞1，b＞1），则称S_n为“好和”．问S₁，S₂，S₃，…，中是否存在“好和”，若存在，求出所有“好和”；若不存在，说明理由．