Question

设数列a₁，a₂，…，a_n，…的前n项的和S_n与a_n的关系是Sn=-ban+1-

1

(1+b)n

，其中b是与n无关的常数，且b≠-1．
（1）求a_n和a_n-1的关系式；
（2）写出用n和b表示a_n的表达式；
（3）当0＜b＜1时，求极限

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

分析：（1）由S_n和a_n的关系式a_n=

S1      (n=1) Sn-Sn-1(n≥2)

，求出数列的递推公式．
（2）把（1）的结果逐层代入观察其特点，归纳推理出a_n的式子．
（3）根据题意把a_n代入所给的式子进行整理，利用b的范围求出极限．

解答：解：（1）an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)-

1

(1+b)n

+

1

(1+b)n-1

=-b(an-an-1)+

b

(1+b)n

(n≥2)
解得an=

b

1+b

an-1+

b

(1+b)n+1

(n≥2)…①
（2）∵a1=S1=-ba1+1-

1

1+b

，
∴a1=

b

(1+b)2

．…②
由①得
an=

b

1+b

[

b

1+b

an-2+

b

(1+b)n

]+

b

(1+b)n+1

=(

b

1+b

)2an-2+

b+b2

(1+b)n+1

=(

b

1+b

)2[

b

1+b

an-3+

b

(1+b)n-1

]+

b+b2

(1+b)n+1

=(

b

1+b

)3an-3+

b+b2+b3

(1+b)n+1

由此推得an=(

b

1+b

)n-1a1+

b+b2++bn-1

(1+b)n+1

…③
将②代入③得an=

b+b2++bn

(1+b)n+1

∴an=

b-bn+1 (1-b)(1+b)n+1 ，b≠1 n 2n+1 ，b=1

（3）Sn=

(-b)(b-bn+1)

1-b

•(

1

1+b

)n+1+1-(

1

1+b

)n，(b≠1)
∵0＜b＜1时，

lim

n→∞

bn=0，

lim

n→∞

(

1

1+b

)n=0
∴当0＜b＜1时，

lim

n→∞

Sn=1．

点评：本题利用a_n=

S1      (n=1) Sn-Sn-1(n≥2)

，求出数列的递推公式；再求通项公式时利用了归纳推理写出即可，题中没要求证明这就降低难度，第三小题利用前两题中的结果及b的范围求出．