Question

设数列a₁，a₂，…，a_n，…中的每一项都不为0，证明，{a_n}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N₊都有。

Answer 1

证明：先证必要性：
设数列{a_n}的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立；
若d≠0，
则


；
再证充分性：(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N₊都成立，
首先，在等式，①
两端同乘a₁a₂a₃，即得a₁+a₃=2a₂，所以a₁，a₂，a₃成等差数列，
记公差为d，则a₂=a₁+d，
假设a_k=a₁+(k-1)d，当n=k+1时，观察如下二等式
，②
，③
将②代入③，得，
在该式两端同乘a₁a_ka_k+1，得(k-1)，
将a_k=a₁+(k-1)d代入其中，整理，得a_k+1=a₁+kd，
由数学归纳法原理知，对一切n∈N₊，都有a_n=a₁+(n-1)d，所以{a_n}是公差为d的等差数列．