Question

设数列a₁，a₂，…，a_n，…满足a₁=a₂=1，a₃=2，且对任何自然数n，都有a_na_n+1a_n+2≠1，又a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，则a₁+a₂+…+a₁₀₀的值是

200

．

Answer 1

分析：由a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3 可得a_n+1a_n+2a_n+3a_n+4=a_n+1+a_n+2+a_n+3+a_n+4相减可得a_n+4=a_n，再由已知可推得数列为，1，1，2，4循环出现，故可求解a₁+a₂+…+a₁₀₀的值

解答：解：∵对任何自然数n，都有a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3  ①∴a_n+1a_n+2a_n+3a_n+4=a_n+1+a_n+2+a_n+3+a_n+4，②
②-①，得a_na_n+1a_n+2（a_n+4-a_n）=a_n+4-a_n，即（a_n+4-a_n）（a_na_n+1a_n+2-1）=0
由已知a_na_n+1a_n+2≠1，即a_na_n+1a_n+2-1≠0，只能a_n+4-a_n=0，即得a_n+4=a_n．
又a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，a₁=a₂=1，a₃=2，得a₄=4．
故数列为，1，1，2，4的循环出现
∴a₁+a₂+…+a₁₀₀=25（1+1+2+4）=200．
故答案为：200

点评：本题为数列的求和问题，由题意推出故数列为，1，1，2，4的循环是解决问题的关键，属中档题．