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    (二)空间直线和平面 例15 如果直线l是平面α的斜线.那么在平面α内( ) A.不存在与l平行的直线 B.不存在与l垂直的直线 C.与l垂直的直线只有一条 D.与l平行的直线有无穷多条 解 A正确.若存在l′α且l′∥l.那么.或者l∥α或者lα.均与“l是 α的斜线 矛盾 由A.正确D.错误 由三垂线定理知.B.C均不正确. 例16 如图(1).ABCD是正方形.E是AB中点.如 将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起.使AE与BE重合.记A与B重合后的点为P.则面PCD与 面ECD所成的二面角为 度. 解:在图(2)上作PH⊥CD于H.设正方形ABCD的边长1. 易知PD＝l.PC＝l.∴H为DC中点. 又ED＝EC. ∴EH⊥DC于H. 设∠PHE＝θ.则θ为面PCD与面ECD所成二面角的大小. 在△PDC中.由PD＝PC＝DC＝l.得PH＝. 在△EDC中.由EH＝ ＝＝l. 又P是A.B重合的点.故PE＝AE＝. 用余弦定理于△PHE.有 cosθ＝cos∠PHE＝ ＝. 由于θ∈.得θ＝30°. 应填30°. 例17 已知:如图.平面α∩平面β＝直线a.α .β同时垂直于平面 r.又同时平行于直线b. 求证:b⊥γ. 证明:(1)设α∩γ＝m.β∩γ＝n. 在直线a上任选不在平面γ上的点A.作AO⊥m于O.AO′⊥n于O′. ∵AOα.α⊥γ且α∩γ＝m.AO⊥m. ∴AO⊥γ(两面垂直.则在其中一个平面上且垂直于交线的直线必垂直于另一个面).同理AO ′⊥γ. 但平面γ外的点A在平面γ的射影唯一. ∴O和O′重合于m.n的交点. 即直线a⊥平面γ. (2)∵b∥平面α. ∴存在b′α.b′≠a,满足b∥b′. 又b∥β.从而b′∥β. 因为平面α过b′且交平面β于a. ∴b′∥a.从而b∥a. 由a⊥γ.得b⊥γ. 例18 如果直线l.m与平面α.β.γ满足:l＝β∩ r.l∥α .mα.和m⊥γ.那么必有( ) A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ 解:∵mα.m⊥γ. ∴γ⊥α. ∵lγ.m⊥γ. ∴m⊥l. 即在题设的条件下必有γ⊥α且l⊥m. 应选A. 例19 如图1-37.在正三棱柱ABC-A1B1C1中.E ∈BB1.截面A1EC⊥侧面AC1. (1)求证:BE＝EB1, (2)若AA1＝A1B1.求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的度数 . 注意:在下面横线上填写适当内容.使之成为(1)的完成证明.并解答(2). 证明:在截面A1EC内.过E作EG⊥A1C.G是垂足. (Ⅰ)∵ ∴EG⊥侧面AC1.取AC的中点F.连结BF.FG.由AB＝BC得BF⊥FC. (Ⅱ)∵ ∴BF⊥侧面AC1.得BF∥EG.BF.EG确定一个平面.交侧面AC1于FC. (Ⅲ)∵ ∴BF∥EG.四边形BEGF是平行四边形.BE＝FG. (Ⅳ)∵ ∴FG∥AA1.ΔAA1C∽ΔFGC. (Ⅴ)∵ ∴FG=AA1＝BB1.即BE=BB1.故BE＝EB1. 解:∵面A1EC⊥侧面AC1. (Ⅱ)∵而面ABC⊥侧面AC1. (Ⅲ)∵BE∥侧面AC1. (Ⅳ)∵BE∥AA1. (Ⅴ)∵AF＝FC. (2)分别延长CE.C1B1交于点D.连结A1D. ∵EB1∥CC1.EB1＝BB1＝CC1. ∴DB1＝DC1＝B1C1＝A1B1. ∵∠B1A1C1＝∠B1C1A1＝60° ∠DA1B1＝∠A1DB1＝ (180°-∠DB1A1)＝30° 即DA1⊥A1C1 ∵CC1⊥面A1C1B1.即A1C1在平面A1C1D上的射影.根据三垂线定理得DA1⊥A1C. ∴∠CA1C是所求二面角的平面角. ∵CC1＝AA1＝A1B1＝A1C1.∠A1C1C＝90°. ∴∠CA1C1＝45°.即所求二面角为45°. 例20 在空间中.下列命题成立的是( ) A.过平面α外的两点.必有且只有一个平面与平面α垂直 B.若直线l上有两点到平面α的距离相等.则直线l必平行于平面α C.若直线l与平面α内的无数多条直线垂直.则直线l必垂直于平面α D.互相平行的两条直线在一个平面内的射影仍然是互相平行的两条直线 E.若点P到三角形的三条边的距离相等.则点P在该三角形所在平面内的射影必然是该三角形的内心 解:A不正确.若平面α外的两点A.B使直线AB⊥α.则过A.B两点且与α垂 直的平面有无数多个. B不正确.设l和α交于点O.在l上取OA＝OB.则A.B到平面α等距但直线AB 不平行于平面α. C不正确.设l斜交α于O.在α内过O点作m⊥l.则α内与m平行的无数多条 直线都平行于l.但l与α不垂直. D不正确.若互相平行的两直线a.b所确定的平面β⊥α.则a.b在α内的 射影是一条直线. E正确.由三垂线定理易证明它的正确性. 例21 已知二面角α-AB-β的平面角是锐角θ.α内一点C到β的距离为3. 点C到棱的距离为4.那么tgθ的值等于( ) A. B. C. D. 解:如图.CO⊥β于O.CD⊥AB于D.则CO＝3.CD＝4.∠CDO＝θ.∠COD＝90°. ∴tgθ＝ ＝. 应选C. 例22 下列命题中.错误的是( ) A.若一直线垂直于一平面.则此直线必垂直于这平面上所有的直线 B.若一个平面通过另一个平面的一条垂线.则这两个平面互相垂直 C.若一条直线垂直于一个平面的一条垂线.则此直线平行于这个平面 D.若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直.则它也和这条斜线垂直 解:B为两面垂直的一个判定定理. A为线面垂直的性质定理. C错误:设l⊥平面α.m∥l.若mα.则m∥α. 应选C. 例23 下列四个命题中的真命题是( ) A.若直线l平面α内两条平行直线垂直.则l⊥α B.若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行.则α∥β C.若平面α与直二角β-MN-r.棱MN交于点A.与二面角的面β.而r分别交于AB.AC.则∠BAC≤90° D.以上三个命题都是假命题. 解:命题A不真 命题B不真,若这四条直线都平行.则有可能α∥β 命题C不真: 如图 BC2＝BB′2+BC′2 ＝BB′2+CC′2+B′C2 ＝BB′2+CC′2+2 ＞BB′2+CC′2+B′A′2+C′A2 ＝(BB′2+B′A2)+(CC′2+C′A2) ＝BA2+CA2 ∴∠BAC＞90° 应选D. [同步达纲练习] 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    下列命题正确的个数为（　　）
    ①斜线与它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内所有直线所成的角的最小角．
    ②二面角α-l-β的平面角是过棱l上任一点O，分别在两个半平面内任意两条射线OA，OB所成角的∠AOB的最大角．
    ③如果一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直．
    ④设A是空间一点，
    n
    为空间任一非零向量，适合条件的集合{
    M
    |
    AM
    •
    n
    =0    }的所有点M构成的图形是过点A且与
    n
    垂直的一个平面．

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    下列命题正确的个数为（　　）
    ①斜线与它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内所有直线所成的角的最小角．
    ②二面角α-l-β的平面角是过棱l上任一点O，分别在两个半平面内任意两条射线OA，OB所成角的∠AOB的最大角．
    ③如果一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直．
    ④设A是空间一点，
    n
    为空间任一非零向量，适合条件的集合{
    M
    |
    AM
    •
    n
    =0    }的所有点M构成的图形是过点A且与
    n
    垂直的一个平面．
    A．1B．2C．3D．4

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