已知奇函数f（x）是定义在（-3，3）上的减函数，且满足不等式f（x-3）+f（x²-3）＜0，设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤

5

}，求函数g（x）=-3x²+3x-4（x∈B）的最大值．

已知离心率为

3

2

的椭圆C₁的顶点A₁，A₂恰好是双曲线

x2

3

-y2=1的左右焦点，点P是椭圆上不同于A₁，A₂的任意一点，设直线PA₁，PA₂的斜率分别为k₁，k₂．
（Ⅰ）求椭圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）试判断k₁•k₂的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论；
（Ⅲ）当k1=

1

2

时，圆C₂：x²+y²-2mx=0被直线PA₂截得弦长为

4 5

5

，求实数m的值．
设计意图：考察直线上两点的斜率公式、直线与圆相交、垂径定理、双曲线与椭圆的几何性质等知识，考察学生用待定系数法求椭圆方程等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改编自人教社选修2-1教材P39例3．

已知离心率为的椭圆C₁的顶点A₁，A₂恰好是双曲线的左右焦点，点P是椭圆上不同于A₁，A₂的任意一点，设直线PA₁，PA₂的斜率分别为k₁，k₂．
（Ⅰ）求椭圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）试判断k₁•k₂的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论；
（Ⅲ）当时，圆C₂：x²+y²-2mx=0被直线PA₂截得弦长为，求实数m的值．
设计意图：考察直线上两点的斜率公式、直线与圆相交、垂径定理、双曲线与椭圆的几何性质等知识，考察学生用待定系数法求椭圆方程等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改编自人教社选修2-1教材P39例3．

设点是抛物线的焦点，是抛物线上的个不同的点（）.

（1） 当时，试写出抛物线上的三个定点、、的坐标，从而使得

；

（2）当时，若，

求证：；

（3） 当时，某同学对（2）的逆命题，即：

“若，则.”

开展了研究并发现其为假命题.

请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：

① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；

② 对任意给定的大于3的正整数，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）.

【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.

【解析】第一问利用抛物线的焦点为，设，

分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.

由抛物线定义得到

第二问设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.

由抛物线定义得

第三问中①取时，抛物线的焦点为，

设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

，

则，不妨取；；；

解：（1）抛物线的焦点为，设，

分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

 

因为，所以，

故可取满足条件.

（2）设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.

由抛物线定义得

   又因为

；

所以.

（3） ①取时，抛物线的焦点为，

设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

，

则，不妨取；；；，

则，

.

故，，，是一个当时，该逆命题的一个反例.(反例不唯一)

② 设，分别过作

抛物线的准线的垂线，垂足分别为，

由及抛物线的定义得

，即.

因为上述表达式与点的纵坐标无关，所以只要将这点都取在轴的上方，则它们的纵坐标都大于零，则

，

而，所以.

（说明：本质上只需构造满足条件且的一组个不同的点，均为反例.）

③ 补充条件1：“点的纵坐标（）满足 ”，即：

“当时，若，且点的纵坐标（）满足，则”.此命题为真.事实上，设，

分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由，

及抛物线的定义得，即，则

，

又由，所以，故命题为真.

补充条件2：“点与点为偶数，关于轴对称”，即：

“当时，若，且点与点为偶数，关于轴对称，则”.此命题为真.（证略）

 

已知离心率为的椭圆C₁的顶点A₁，A₂恰好是双曲线的左右焦点，点P是椭圆上不同于A₁，A₂的任意一点，设直线PA₁，PA₂的斜率分别为k₁，k₂．
（Ⅰ）求椭圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）试判断k₁•k₂的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论；
（Ⅲ）当时，圆C₂：x²+y²-2mx=0被直线PA₂截得弦长为，求实数m的值．
设计意图：考察直线上两点的斜率公式、直线与圆相交、垂径定理、双曲线与椭圆的几何性质等知识，考察学生用待定系数法求椭圆方程等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改编自人教社选修2-1教材P39例3．