题目列表(包括答案和解析)
如图所示,圆柱的高为2,底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线,过作圆柱的截面交下底面于.
(1)求证:;
(2)若四边形ABCD是正方形,求证;
(3)在(2)的条件下,求二面角A-BC-E的平面角的一个三角函数值。
【解析】第一问中,利用由圆柱的性质知:AD平行平面BCFE
又过作圆柱的截面交下底面于.∥
又AE、DF是圆柱的两条母线
∥DF,且AE=DF AD∥EF
第二问中,由线面垂直得到线线垂直。四边形ABCD是正方形 又
BC、AE是平面ABE内两条相交直线
第三问中,设正方形ABCD的边长为x,则在
在
由(2)可知:为二面角A-BC-E的平面角,所以
证明:(1)由圆柱的性质知:AD平行平面BCFE
又过作圆柱的截面交下底面于.∥
又AE、DF是圆柱的两条母线
∥DF,且AE=DF AD∥EF
(2) 四边形ABCD是正方形 又
BC、AE是平面ABE内两条相交直线
(3)设正方形ABCD的边长为x,则在
在
由(2)可知:为二面角A-BC-E的平面角,所以
在边长为的正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,M、N分别为AB、CF的中点,现沿AE、AF、EF折叠,使B、C、D三点重合,构成一个三棱锥.
(I)判别MN与平面AEF的位置关系,并给出证明;
(II)求多面体E-AFMN的体积.
【解析】第一问因翻折后B、C、D重合(如下图),所以MN应是的一条中位线,则利用线线平行得到线面平行。
第二问因为平面BEF,……………8分
且,
∴,又 ∴
(1)因翻折后B、C、D重合(如图),
所以MN应是的一条中位线,………………3分
则.………6分
(2)因为平面BEF,……………8分
且,
∴,………………………………………10分
又 ∴
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