已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点（a＞2，b＞2），O为原点．
（1）求证：（a-2）（b-2）=2；
（2）求线段AB中点的轨迹方程；
（3）求△AOB面积的最小值．

已知直线l被直线l₁：2x+y+1=0与l₂：x-2y-3=0截得的线段中点恰好为坐标原点．
（1）求直线l的方程；
（2）若抛物线y=ax²-1（a≠0）上总不存在关于l对称的两点，求实数a的取值范围．

已知四点O（0，0），F(0，

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)，M（0，1），N（0，2）．点P（x₀，y₀）在抛物线x²=2y上
（Ⅰ）当x₀=3时，延长PN交抛物线于另一点Q，求∠POQ的大小；
（Ⅱ）当点P（x₀，y₀）（x₀≠0）在抛物线x²=2y上运动时，
ⅰ）以MP为直径作圆，求该圆截直线y=

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所得的弦长；
ⅱ）过点P作x轴的垂线交x轴于点A，过点P作该抛物线的切线l交x轴于点B．问：是否总有∠FPB=∠BPA？如果有，请给予证明；如果没有，请举出反例．

已知圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点A（1，3），与直线x+2y-7=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l：ax-y-2=0（a＞0）与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围；
（3）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（-2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．