题目列表(包括答案和解析)
已知 设P:函数
在R上单调递减; Q:不等式
的解集为R,若“P或Q”是真命题,“P且Q”是假命题,求
的取值范围.
[解题思路]:“P或Q”是真命题,“P且Q”是假命题,根据真假表知,P,Q之中一真一假,因此有两种情况,要分类讨论.
已知数列是首项为
的等比数列,且满足
.
(1) 求常数的值和数列
的通项公式;
(2) 若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、……、第
项、……,余下的项按原来的顺序组成一个新的数列
,试写出数列
的通项公式;
(3) 在(2)的条件下,设数列的前
项和为
.是否存在正整数
,使得
?若存在,试求所有满足条件的正整数
的值;若不存在,请说明理由.
【解析】第一问中解:由得
,,
又因为存在常数p使得数列为等比数列,
则即
,所以p=1
故数列为首项是2,公比为2的等比数列,即
.
此时也满足,则所求常数
的值为1且
第二问中,解:由等比数列的性质得:
(i)当时,
;
(ii) 当时,
,
所以
第三问假设存在正整数n满足条件,则,
则(i)当时,
,
已知函数在
与
时都取得极值.
(1)求的值及函数
的单调区间;www.7caiedu.cn
(2)若对,不等式
恒成立,求
的取值范围.
【解析】根据与
是
的两个根,可求出a,b的值,然后利用导数确定其单调区间即可.
(2)此题本质是利用导数其函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值,然后利用,即可解出c的取值范围.
已知函数其中
为自然对数的底数,
.(Ⅰ)设
,求函数
的最值;(Ⅱ)若对于任意的
,都有
成立,求
的取值范围.
【解析】第一问中,当时,
,
.结合表格和导数的知识判定单调性和极值,进而得到最值。
第二问中,∵,
,
∴原不等式等价于:,
即, 亦即
分离参数的思想求解参数的范围
解:(Ⅰ)当时,
,
.
当在
上变化时,
,
的变化情况如下表:
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- |
|
+ |
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1/e |
∴时,
,
.
(Ⅱ)∵,
,
∴原不等式等价于:,
即, 亦即
.
∴对于任意的,原不等式恒成立,等价于
对
恒成立,
∵对于任意的时,
(当且仅当
时取等号).
∴只需,即
,解之得
或
.
因此,的取值范围是
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