解: (1) 将条件变为:1-=.因此{1-}为一个等比数列.其首项为 1-=.公比.从而1-=.据此得an=----1° (2) 证:据1°得.a1·a2·-an= 为证a1·a2·--an<2·n! 只要证nÎN*时有>----2° 显然.左端每个因式都是正数.先证明.对每个nÎN*.有 ³1-()----3° 用数学归纳法证明3°式: (i) n=1时.3°式显然成立. (ii) 设n=k时.3°式成立. 即³1-() 则当n=k+1时. ³(1-())·() =1-()-+() ³1-(+)即当n=k+1时.3°式也成立. 故对一切nÎN*.3°式都成立. 利用3°得.³1-()=1- =1-> 故2°式成立.从而结论成立. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

(1)已知sin+cos(0<<π),求tan及sin3-cos3的值.

(2)在上面的题目中,直接给出了已知sinα±cosα的值,然后利用sinα±cosα与sinα·cosα的关系使题目得到解决.本题也可以变换条件,由于sinα、cosα和差与积有一定的关系,因此,也可以将它们与一元二次方程联系在一起.例如:关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根为sinα和cosα,且α∈(0,2π),

(1)求的值;

(2)求m的值;

(3)求方程的两根及此时的角α.

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鸡兔同笼

  你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗?这个问题,是我国古代著名趣题之一.大约在1 500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题.书中是这样叙述的:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔?

  你会解答这个问题吗?你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗?

  解答思路是这样的:假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独角鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”.这样,(1)鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只;(2)如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1.因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即47-35=12(只).显然,鸡的只数就是35-12=23(只)了.

  这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已.这种思维方法叫化归法.

  化归法就是在解决问题时,先不对问题采取直接的分析,而是将题中的条件或问题进行变形,使之转化,直到最终把它归成某个已经解决的问题.

1.古代《孙子算经》就有这么好的解法——化归法,这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已.对此,谈谈你的看法.

2.我国古代数学研究一直处于领先地位,现在有所落后了,对此,我们不应只感叹古人的伟大,而更应该树立为科学而奋斗终身的信心,同学们,你们准备好了吗?

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同步练习册答案