设函数f(x)=

3x

3x+ 3

上两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），若

OP

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，且P点的横坐标为

1

2

（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；
（2）若Sn=

n

i=1

f(

i

n

)，n∈N^*，求S_n；
（3）记T_n为数列{

1

(Sn+ 3 2 )(Sn+1+ 3 2 )

}的前n项和，若Tn＜a•(Sn+2+

3

2

)对一切n∈N^*都成立，试求实数a的取值范围．

设函数上两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），若，且P点的横坐标为
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；
（2）若，n∈N^*，求S_n；
（3）记T_n为数列的前n项和，若对一切n∈N^*都成立，试求实数a的取值范围．

设函数上两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），若，且P点的横坐标为
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；
（2）若，n∈N^*，求S_n；
（3）记T_n为数列的前n项和，若对一切n∈N^*都成立，试求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=ax+bsinx，当x=

π

3

时，f（x）取得极小值

π

3

-

3

．
（1）求a，b的值；
（2）设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：
①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；
②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．
试证明：直线l：y=x+2是曲线S：y=ax+bsinx的“上夹线”．
（3）记h(x)=

1

8

[5x-f(x)]，设x₁是方程h（x）-x=0的实数根，若对于h（x）定义域中任意的x₂、x₃，当|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1时，问是否存在一个最小的正整数M，使得|h（x₃）-h（x₂）|≤M恒成立，若存在请求出M的值；若不存在请说明理由．