例12 设函数是定义在R上的增函数.且f(x)≠0.对于任意.都有． (1) 求证:f(x)＞0, (2) 求证:, (3)若f(1)=2.解不等式f(3x) ＞4f(x)． [分析]由于——青夏教育精英家教网—

例12 设函数是定义在R上的增函数.且f(x)≠0.对于任意.都有． (1) 求证:f(x)＞0, (2) 求证:, (3)若f(1)=2.解不等式f(3x) ＞4f(x)． [分析]由于函数具有本例中f(x)的条件与结构.因而在求解过程中应以指数函数(a＞0且a≠1)为模型类比求解． [解析](1)令.则.∵f(t) ≠0, ∴f(t) ＞0.即f(x) ＞0.． (2)∵.又f(x) ≠0. ∴． (3)∵f(1)=2.∴2f(x)= f(1) ·f(x)= f(1+x).4 f(x)=2·2 f(x)= f(1)·f(1+x)= f(2+x).∴f(3x) ＞4f(x).即f(3x) ＞f(2+x)．又f(x)是定义域R上的增函数.∴3x＞2+x.∴x＞1.故不等式f(3x) ＞4f(x)的解集为{x|x＞1}． [点评]在解有关抽象函数问题时.可以根据题中的抽象函数关系式的特例.即具体函数.类比求解.这样可以使解题方向明确．例13 已知函数f(x)的定义域为且在其上为增函数.满足f(xy)=f(x)+f(y).f(2)=1.试解不等式f(x)+f(x-2)＜3． [分析]解此题的关键是求函数值3所对应的自变量值.即求f(a)=3中a的值． [解析]∵f(4)=f(2)+f(2)=2.又3=2+1= f(4)+f(2)= f= f(8).即f(8)=3.根据题中关系式.有f(x)+ f(x-2)=.所以.原不等式化成＜ f(8).有.∴不等式的解集为{x|2≤x≤4}．【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

设函数是定义在R上的增函数，且f(x)≠0，对任意x₁，x₂∈R，都有f(x₁＋x₂)＝f(x₁)·f(x₂)．