（本小题满分12分）

已知椭圆C：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

（本小题满分12分）

已知椭圆C：的长轴长为4.

（1）若以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，求椭圆焦点坐标；

（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆交于M,N两点，直线PM，PN的斜率乘积为，求椭圆的方程.

（本小题满分12分）

已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线是抛物线的一条切线．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的动直线L交椭圆C于A．B两点．问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在，求点T坐标；若不存在，说明理由．

（本小题满分12分）

已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．