59、集合P＝1，3，5，7，9，┅，2－1，┅∈N，若∈P，∈P时，

　 ∈P，则运算　 可能是(　 D　 )

(A)加法；　 (B)除法；　 (C)减法；　 (D)乘法．

58、歌德巴赫(Goldbach．C．德．1690-1764)曾研究过“所有形如(，为正整数)的分数之和”问题．为了便于表述，引入记号：

＝++┅

++┅

写出你对此问题的研究结论：　 ＝1　 　(用数学符号表示)．

57、已知是定义在－∞，+∞上的函数，∈－∞，+∞，请给出能使命题：“若+1＞0，则+＞+”成立的一个充分条件：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　．

已知是定义在－∞，+∞上的函数，∈－∞，+∞，请给出能使命题：“若+1＞0，则+＞+”成立的一个充分条件：_______.

答案： 函数在－∞，+∞上单调递增(或＝+(＞0)等)　　 ．

56、对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f (x)与g (x)，如果对任意x∈[m，n]均有| f (x) – g (x) |≤1，则称f (x)与g (x)在[m，n]上是接近的，否则称f (x)与g (x)在[m，n]上是非接近的，现有两个函数f ₁(x) = log_a(x – 3a)与f ₂ (x) = log_a(a > 0，a≠1)，给定区间[a + 2，a + 3]．

　 (1)若f ₁(x)与f ₂ (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上都有意义，求a的取值范围；

　 (2)讨论f ₁(x)与f ₂ (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是否是接近的？

解：(1)要使f ₁ (x)与f ₂ (x)有意义，则有

　　　 要使f ₁ (x)与f ₂ (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上有意义，

等价于真数的最小值大于0

即

　 (2)f ₁ (x)与f ₂ (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的

| f ₁ (x) – f ₂ (x)|≤1

≤1

|log_a[(x – 3a)(x – a)]|≤1

a≤(x – 2a)² – a²≤

对于任意x∈[a + 2，a + 3]恒成立

设h(x) = (x – 2a)² – a²，x∈[a + 2，a + 3]

且其对称轴x = 2a < 2在区间[a + 2，a + 3]的左边

当时

f ₁ (x)与f ₂ (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的

当< a < 1时，f ₁ (x)与f ₂ (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是非接近的．

55、对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。

　　 对自然数，规定为的阶差分数列，其中。

　 (1)已知数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？

　 (2)若数列首项，且满足，求数列的通项公式。

　 (3)对(2)中数列，是否存在等差数列，使得对一切自然都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。

　 解：(1)，∴是首项为4，公差为2的等差数列。

∴是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。

　　 (2)，即，即，∴

　　　　 ∵，∴，，，猜想：

　　　　 证明：ⅰ)当时，；

　　　　　　　 ⅱ)假设时，

　　　　　　　　　 时， 结论也成立

　　　　　　　 ∴由ⅰ)、ⅱ)可知，

　 　　(3)，即

　　　　 　∵

　　　　　 ∴存在等差数列，，使得对一切自然都成立。

54、如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数时，输出结果记为，且计算装置运算原理如下：

①　　 若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则；②若Ⅰ输入固定的正整数，

Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1，

Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。

　　 试求：

　　 (1)的表达式；(2)的表达式；

　　 (3)若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数，则输出结果能否为2005？

若能，求出相应的；若不能，则请说明理由。

解：(1)

　 (2)

　 (3) ，∵，

　　　 　∴输出结果不可能为。

53、已知函数，当点在的图像上移动时，

点在函数的图像上移动．

(1) 若点P坐标为()，点Q也在的图像上，求的值；

(2) 求函数的解析式；

(3) 当时，试探求一个函数使得在限定定义域为

时有最小值而没有最大值．

解：(1)当点坐标为()，点的坐标为，…………2分 ∵点也在的图像上，∴，即．……5分

(根据函数的单调性求得，请相应给分) (2)设在的图像上 则，即　　 ……………………………………8分 而在的图像上，∴ 代入得，为所求．…………………………………11分

(3)；或　 等．　　 …………………15分 如：当时，

∵在单调递减，　 ∴　　 故 ， 即有最小值，但没有最大值．………………………18分

(其他答案请相应给分)

(参考思路)在探求时，要考虑以下因素：①在上必须有意义(否则不能参加与的和运算)；②由于和都是以为底的对数，所以构造的函数可以是以为底的对数，这样与和进行的运算转化为真数的乘积运算；③以为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；④为方便起见，可以考虑通过乘积消去；⑤乘积的结果可以是的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线的左侧(否则真数会有最小值，对数就有最大值了)，考虑到该二次函数的图像与轴已有了一个公共点，故对称轴又应该是轴或在轴的右侧(否则该二次函数的值在上的值不能恒为正数)，即若抛物线与轴的另一个公共点是，则，且抛物线开口向下．

52、如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差． (1)设数列是公方差为的等方差数列，求和的关系式； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列； (3) 设数列是首项为，公方差为的等方差数列，若将这种顺

序的排列作为某种密码，求这种密码的个数．

(1)解：由等方差数列的定义可知：………………5分

(2)证法一：∵是等差数列，设公差为，则 又是等方差数列，∴………………………………7分 ∴ 即，　 …………………………………10分 ∴，即是常数列．…………………………………………………11分 证法二：∵是等差数列，设公差为，则……1 又是等方差数列，设公方差为，则……2…………7分 1代入2得，……3 　　 同理有，……4 两式相减得：即，…………………………………10分 ∴，即是常数列．………………………………………………11分

证法三：(接证法二1、2)

由1、2得出：若，则是常数列　　 …………………8分

若， 则　 是常数,　 ∴，矛盾…………10分

∴　　 是常数列．　　　　　　　　　　　 …………………11分 (3)依题意， ，

， 　　 ∴，或，　　　 ……………………………13分 　 即该密码的第一个数确定的方法数是，其余每个数都有“正”或“负”两种

确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是种， 故，这种密码共种．…………………………………………………16分

51、已知命题：平面上一矩形的对角线与边和

　　 所成角分别为，则。若把它推广到空

　　 间长方体中，试写出相应的命题形式：____________________

　　 _____________________________________________________。

长方体中，对角线与棱所成的角分别为，则，。或是：长方体中，对角线与平面所成的角分别为，则，。或是：长方体中，对角面与平面所成的二面角分别为，则。

50、定义一种运算“*”，对于，满足以下运算性质：

① ；② 。则的数值为_____3004_____。