4.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO-A′B′C′D′，

A′C的中点E与AB的中点F的距离为　　　　 .

3.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E、

F分别是CC₁、AD的中点，那么异面直线OE和FD₁所成角的余弦值等于　　　 .

2.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=2，则该二面角的大小为　　　　　 .

1.已知两平面的法向量分别为m=(0，1，0)，n=(0，1，1)，则两平面所成的二面角为　　　 .

12.(2008·湛江模拟)如图所示，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，

AA₁=4， E是棱CC₁上的点，且BE⊥B₁C.

(1)求CE的长；

(2)求证：A₁C⊥平面BED；

(3)求A₁B与平面BDE所成角的正弦值.

(1)解　 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标

系D-xyz. ∴D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A₁(2，0，4)，

B₁(2，2，4)，C₁(0，2，4)，D₁(0，0，4).

设E点坐标为(0，2，t)，则=(-2，0，t)，=(-2，0，-4).

∵BE⊥B₁C， ∴·=4+0-4t=0.∴t=1，故CE=1.

(2)证明　 由(1)得，E(0，2，1)，=(-2，0，1)，

又=(-2，2，-4)，=(2，2，0)，∴·=4+0-4=0，

且·=-4+4+0=0.∴⊥且⊥，即A₁C⊥DB，A₁C⊥BE，

又∵DB∩BE=B，∴A₁C⊥平面BDE.即A₁C⊥平面BED.

(3)解　 由(2)知=(-2，2，-4)是平面BDE的一个法向量.又=(0，2，-4),

∴cos〈,〉==.∴A₁B与平面BDE所成角的正弦值为.

11.如图所示，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是

AC、PC的中点， OP⊥底面ABC.

(1)若k=1，试求异面直线PA与BD所成角余弦值的大小；

(2)当k取何值时，二面角O-PC-B的大小为？

解　 ∵OP⊥平面ABC，又OA=OC，AB=BC， 从而OA⊥OB，OB⊥OP，OA⊥OP，

以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.

(1)设AB=a，则PA=a，PO=a， A(a，0，0)，B(0，a，0)，

C(-a，0，0)，P(0，0，a)，则D(-a，0，a).

∵=(a，0，-a )，=(-a，-a，a)，

∴cos〈,〉===-,

则异面直线PA与BD所成角的余弦值的大小为.

(2)设AB=a，OP=h，∵OB⊥平面POC，∴=(0，a，0)为平面POC的一个法向量.

不妨设平面PBC的一个法向量为n=(x，y，z)，

∵A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(-a，0，0)，P(0，0，h)，

∴=(-a,- a,0),=(- a,0,-h),由

不妨令x=1，则y=-1，z=-，即n=(1,-1,- ),则cos=

==2+=4h=a,∴PA===a,

而AB=kPA,∴k=.故当k=时,二面角O-PC-B的大小为.

10.在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=2a，BC=DE=a，

∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°.

(1)求证：PA⊥平面ABCDE；

(2)求二面角A-PD-E的余弦值.

(1)证明　 以A点为坐标原点，以AB、AE、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则由已知得A(0，0，0)，P(0，0，2a)，

B(2a，0，0)，C(2a，a，0)，D(a，2a，0)，E(0，2a，0).

∴=(0，0，2a)，=(2a，0，0)，=(0，2a，0)，

∴·=0·2a+0·0+2a·0=0，∴⊥.同理⊥.

又∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE.

(2)解　 设平面PAD的法向量为m=(1,y,z),则m·=0，得a+2ay=0，

∴y=-.又m·=0，得2az=0，∴z=0.∴m=(1，-，0).

再设平面PDE的法向量为n=(x,1,z),而=(a，0，0)，=(a，2a，-2a)，

则n·=0，得ax=0，∴x=0.又n·=0，得ax+2a-2az=0，∴z=1.∴n=(0，1，1).

令二面角A-PD-E的平面角为，

则cos=-==，故二面角A-PD-E的余弦值是.

9.如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，

BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点.

求AB与平面BDF所成角的正弦值.

解　 以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，2，1)，E(0，0，2)，

F(1，0，1). ∴=(0，2，1)，=(1，-2，0).设平面BDF的一个法向量为

n=(2，a，b)，∵n⊥，n⊥，

∴即解得a=1，b=-2.∴n=(2，1，-2).

设AB与平面BDF所成的角为，则法向量n与的夹角为-，

∴cos(-)===,

即sin=,故AB与平面BDF所成角的正弦值为.

8.正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,

则直线BC与平面PAC所成的角是　　 .

答案　 30°

7.如图所示，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D是A₁C₁的中点，

则直线AD与平面B₁DC所成角的正弦值为　　　 .

答案