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某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：P=（其中c为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

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一．选择题

1~10  BADDA    BCBCD

二．填空题

11．2      12．      13．      14．8        15．45

三．解答题

16．解：因为，所以 ………………………………（1分）

   由得，解得 ………………………………（3分）

  因为，故集合应分为和两种情况

（1）时，  …………………………………（6分）

（2）时，  ……………………………………（8分）

所以得     …………………………………………………（9分）

若真假，则…………………………………………………………（10分）

若假真，则  ……………………………………………………………（11分）

故实数的取值范围为或………………………………………（12分）

17．解：（1）由1的解集有且只有一个元素知

        或 ………………………………………（2分）

当时，函数在上递增，此时不满足条件2

综上可知  …………………………………………（3分）

 ……………………………………（6分）

（2）由条件可知……………………………………（7分）

当时，令或

所以或……………………………………………………………（9分）

又时，也有……………………………（11分）

综上可得数列的变号数为3……………………………………………（12分）

18．解：（1）当时，………………………（1分）

 当时，……………………（2分）

由，知又是周期为4的函数，所以

当时

…………………………（4分）

当时

…………………………（6分）

故当时，函数的解析式为

………………………………（7分）

（2）当时，由，得

或或

解上述两个不等式组得…………………………………………（10分）

故的解集为…………………（12分）

19．解：（1）当时，，……………………（2分）

当时，，

综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：

…………………………………………………………（4分）

（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0……………………………（6分）

        当时，

当且仅当时取等号

所以当时，，此时……………………………（8分）

            当时，由知

函数在上递增，，此时……（10分）

综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润

        若，则当日产量为万件时，可获得最大利润…………（12分）

20．解：（1）将点代入得

       因为直线，所以……………………………………（3分）

       （2） ，

当为偶数时，为奇数，……………（5分）

当为奇数时，为偶数，（舍去）

综上，存在唯一的符合条件…………………………………………………（7分）

（3）证明不等式即证明

     成立，下面用数学归纳法证明

1当时，不等式左边=，原不等式显然成立………………………（8分）

2假设时，原不等式成立，即

    当时

     =

，即时，原不等式也成立 ………………（11分）

根据12所得，原不等式对一切自然数都成立 ……………………………（13分）

21．解：（1）由得……………………（1分）

     又的定义域为，所以

当时，

当时，，为减函数

当时，，为增函数………………………（5分）

   所以当时，的单调递增区间为

                         单调递减区间为…………………（6分）

（2）由（1）知当时，，递增无极值………（7分）

所以在处有极值，故且

     因为且，所以在上单调

     当为增区间时，恒成立，则有

    ………………………………………（9分）

当为减区间时，恒成立，则有

无解  ……………………（13分）

由上讨论得实数的取值范围为 …………………………（14分）