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椭圆的方程为，离心率为，且短轴一端点和两焦点构成的三角形面积为1，抛物线的方程为，抛物线的焦点F与椭圆的一个顶点重合.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）过点F的直线交抛物线于不同两点A,B，交y轴于点N，已知的值.
（3）直线交椭圆于不同两点P,Q，P,Q在x轴上的射影分别为P′,Q′，满足(O为原点)，若点S满足，判定点S是否在椭圆上，并说明理由.

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一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

A

A

C

B

A

B

D

D

B

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分，其中14，15题是选做题，考生只能选做一题,，若两题全都做的，只计算前一题的得分．

11.(2,+∞)     12.    13. 4      14.     15. 9

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）∵ ，   ………………1分

∴ 　 ………………4分

又 ∵  ，  ∴  　 …………………5分

（Ⅱ）由 且，…………………7分

得　  …………………………9分

由正弦定理 ， 得　……………………12分

17．（本小题满分13分）

证明: (1) ∵ 三棱柱为直三棱柱,

         ∴  平面, ∴,

     ∵  , , ,

       ∴ ,

∴   , 又 ,

   ∴ 平面, 

∴      ……………………………………7分

   (2) 令与的交点为, 连结.

       ∵  是的中点, 为的中点, ∴ ∥.

       又 ∵平面, 平面,

      ∴∥平面.    ………………………13分

18.(本小题满分13分)

解: (1) 由题意得  , 即 ,…………………1分

        当时 , ,…………4分

         当时, , ………………5分

         ∴  , ……………………6分

     (2) 由(1)得,…………………8分

           ∴ 

                   . ……………………11分

          因此,使得成立的必须且只需满足, 即,

故满足要求的的最小正整数………………13分

19.(本小题满分14分)

解: (1)设圆的圆心为,

依题意圆的半径     ……………… 2分

∵ 圆在轴上截得的弦的长为.

∴   

故    ………………………… 4分

 ∴   

    ∴  圆的圆心的轨迹方程为 ………………… 6分

(2)    ∵   ,  ∴   ……………………… 9分

令圆的圆心为, 则有 () ,…………… 10分

又  ∵   …………………… 11分

∴    ……………………… 12分

∴       ……………………… 13分

∴   圆的方程为   …………………… 14分

21.(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）由已知

解得，，   …………………2分

∴   ,     ∴     …………4分

∴  . ……………………5分

   （Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，在区间恒成立,即在区间恒成立,

从而在区间上恒成立，…………………8分

令函数,

则函数在区间上是减函数，且其最小值，

∴ 的取值范围为…………………………10分

   （Ⅲ）由，得，

∵       ∴,………………11分

设方程的两根为，则,,

∴, 

∵  ，  ∴  ,    ∴，

∵  且，  ∴  ，

      ∴  ……………14分

21.(本小题满分14分)

解:  （Ⅰ）解：当时，，，……………1分

又，则．…………………3分

所以，曲线在点处的切线方程为，

即．……………4分

（Ⅱ）解：．…………6分

由于，以下分两种情况讨论．

（1）当时，令，得到，,

当变化时，的变化情况如下表：

0

0

极小值

极大值

所以在区间,内为减函数，在区间内为增函数

故函数在点处取得极小值，且，

函数在点处取得极大值，且．…………………10分

（2）当时，令，得到，

当变化时，的变化情况如下表：

0

0

极大值

极小值

所以在区间,内为增函数，在区间内为减函数．

函数在处取得极大值，且．

函数在处取得极小值，且．………………14分