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在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为,将每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为．
（1）求矩阵的逆矩阵；
（2）求曲线先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程．

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第 一 部 分

一、填空题：

1．        2．          3．1            4．16

5．                                 6．               7．64           8．

9．25                                 10．①④            11．        12．

13．                          14．

二、解答题：

15．解：（Ⅰ）依题意：，

即，解之得，（舍去）   …………………7分

（Ⅱ），∴  ，，  ………………………9分

∴    …………………………………11分

．      ……………………………………………14分

16．解：（Ⅰ）因为主视图和左视图均为矩形、所以该三棱柱为直三棱柱．

连BC₁交B₁C于O，则O为BC₁的中点，连DO。

则在中，DO是中位线，

∴DO∥AC₁．                ………………………………………………………4分

∵DO平面DCB₁，AC₁平面DCB₁，

∴AC₁∥平面CDB₁．           ………………………………………………………7分

（Ⅱ）由已知可知是直角三角形，．

∵  ，

∴  平面，平面，

∴   。

∵   ，

∴  平面，

又平面，

∴  。

17．解：（Ⅰ）由题意知：，

一般地： ，…4分

∴  （）。……………………………………7分

（Ⅱ）2008年诺贝尔奖发奖后基金总额为：

 ，…………………………………………10分

2009年度诺贝尔奖各项奖金额为万美元， ………12分

与150万美元相比少了约14万美元。     …………………………………………14分

答：新闻 “2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”不真，是假新闻。……15分

18．解：（Ⅰ）圆与轴交点坐标为，

，，故，    …………………………………………2分

所以，

椭圆方程是：               …………………………………………5分

（Ⅱ）设直线与轴的交点是，依题意，

即,

,

,

,

（Ⅲ）直线的方程是，…………………………………………………6分

圆D的圆心是，半径是，……………………………………………8分

设MN与PD相交于，则是MN的中点，且PM⊥MD，

……10分

当且仅当最小时，有最小值，

最小值即是点到直线的距离是，…………………12分

所以的最小值是。  ……………………………15分

19．解：（Ⅰ）点的坐标依次为，，…，

，…，           ……………………………2分

则，…，

若共线；则，

即，

即， ……………………………4分

，

，

所以数列是等比数列。          ……………………………………………6分

（Ⅱ）依题意，

，

两式作差，则有：，   ………………………8分

又，故，   ……………………………………………10分

即数列是公差为的等差数列；此数列的前三项依次为

，

由，可得，

故，或，或。           ………………………………………12分

数列的通项公式是，或，或。    ………14分

由知，时，不合题意；

时，不合题意；

时，；

所以，数列的通项公式是。  ……………………………………16分

20．解：（Ⅰ）函数定义域，

，    ……………………………………………4分

（Ⅱ），由（Ⅰ）

，，

，单调递增，

所以。

设，

则，

即，也就是。

所以，存在值使得对一个，方程都有唯一解。………10分

（Ⅲ），

，

以下证明，对的数及数，不等式不成立。

反之，由，亦即成立，

因为，，

但，这是不可能的。这说明是满足条件的最小正数。

这样不等式恒成立，

即恒成立，

∴  ，最小正数=4 。……………………16分

 第二部分（加试部分）

21．（A）解：AD²=AE?AB，AB=4，EB=3      ……………………………………4分

△ADE∽△ACO，                ……………………………………………8分

CD=3                         ……………………………………………10分

（B）解：（Ⅰ），

所以点在作用下的点的坐标是。…………………………5分

（Ⅱ），

设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，

则，

也就是，即，

所以，所求曲线的方程是。……………………………………………10分

（C）解：由已知圆的半径为，………4分

又圆的圆心坐标为，所以圆过极点，

所以，圆的极坐标方程是。……………………………………………10分

（D）证明：

＜            ……………………………………6分

=2－

＜2                              ……………………………………10分

22．解：（Ⅰ）∵，∴，

∴切线l的方程为，即．……………………………………………4分

（Ⅱ）令＝0，则．令＝0，则x＝1．

 ∴A＝＝＝．………………10分

23．解：（Ⅰ）记“该生在前两次测试中至少有一次通过”的事件为事件A，则

P(A)=

答：该生在前两次测试中至少有一次通过的概率为。 …………………………4分

（Ⅱ）参加测试次数的可能取值为2，3，4，

      ，

    ，

      ，    ……………………………………………7分

        故的分布列为：

2

3

4

     ……………………………………………10分