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    证明不等式: [必做题]第22题.第23题.每题10分.共计20分. 请在答题纸指定区域内作答.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知，函数（其中为自然对数的底数）．

      （Ⅰ）求函数在区间上的最小值；

      （Ⅱ）设数列的通项，是前项和，证明：．

    【解析】本试题主要考查导数在研究函数中的运用，求解函数给定区间的最值问题，以及能结合数列的相关知识，表示数列的前n项和，同时能构造函数证明不等式的数学思想。是一道很有挑战性的试题。

     

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    把函数的图象按向量平移得到函数的图象．　

    (1)求函数的解析式； (2)若，证明：.

    【解析】本试题主要考查了函数 平抑变换和运用函数思想证明不等式。第一问中，利用设上任意一点为（x,y）则平移前对应点是（x+1,y-2）代入　，便可以得到结论。第二问中，令，然后求导，利用最小值大于零得到。

    (1)解：设上任意一点为（x,y）则平移前对应点是（x+1,y-2）代入　得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以．……4分

    (2) 证明：令，……6分

    则……8分

    ,∴,∴在上单调递增．……10分

    故，即

     

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    已知函数的最小值为0，其中

    （Ⅰ）求的值；

    （Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；

    （Ⅲ）证明（）.

    【解析】(1)解： 的定义域为

    由，得

    当x变化时，，的变化情况如下表：

    x

    -

    0

    +

    极小值

    因此，在处取得最小值，故由题意，所以

    （2）解：当时，取，有，故时不合题意.当时，令，即

    令，得

    ①当时，，在上恒成立。因此在上单调递减.从而对于任意的，总有，即在上恒成立，故符合题意.

    ②当时，，对于，，故在上单调递增.因此当取时，，即不成立.

    故不合题意.

    综上，k的最小值为.

    （3）证明：当n=1时，不等式左边==右边，所以不等式成立.

    当时，

                          

                          

    在（2）中取，得 ，

    从而

    所以有

         

         

         

         

          

    综上，，

     

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    由下列不等式：，，， ，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明。

    【解析】本试题主要考查了合情推理的数学思想，关键是观察到表达式的特点，以及运用数学归纳法证明不等式的重要的数学思想。

     

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    集合A1，A2，A3，…，An为集合M={1，2，3，…，n}的n个不同的子集，对于任意不大于n的正整数i，j满足下列条件：
    ①i∉Ai，且每一个Ai至少含有三个元素；
    ②i∈Aj的充要条件是j∉Aj（其中i≠j）．
    为了表示这些子集，作n行n列的数表（即n×n数表），规定第i行第j列数为：aij=
    0   当i∉AJ时
    1        当i∈AJ时  
    ．
    （1）该表中每一列至少有多少个1；若集合M={1，2，3，4，5，6，7}，请完成下面7×7数表（填符合题意的一种即可）；
    （2）用含n的代数式表示n×n数表中1的个数f（n），并证明n≥7；
    （3）设数列{an}前n项和为f（n），数列{cn}的通项公式为：cn=5an+1，证明不等式：
    		5cmn
    -
    		cmcn
    ＞1对任何正整数m，n都成立．（第1小题用表）
    1 2 3 4 5 6 7
    1 0
    2 0
    3 0
    4 0
    5 0
    6 0
    7 0

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    第 一 部 分

     

    一、填空题：

    1．        2．          3．1            4．16

    5．                                 6．               7．64           8．

    9．25                                 10．①④            11．        12．

    13．                          14．

    二、解答题：

    15．解：（Ⅰ）依题意：，

    即，解之得，（舍去）   …………………7分

    （Ⅱ），∴  ，，  ………………………9分

    ∴    …………………………………11分

    ．      ……………………………………………14分

    16．解：（Ⅰ）因为主视图和左视图均为矩形、所以该三棱柱为直三棱柱．

    连BC1交B1C于O，则O为BC1的中点，连DO。

    则在中，DO是中位线，

    ∴DO∥AC1．                ………………………………………………………4分

    ∵DO平面DCB1，AC1平面DCB1，

    ∴AC1∥平面CDB1．           ………………………………………………………7分

    （Ⅱ）由已知可知是直角三角形，．

    ∵  ，

    ∴  平面，平面，

    ∴   。

    ∵   ，

    ∴  平面，

    又平面，

    ∴  。

    17．解：（Ⅰ）由题意知：，

    一般地： ，…4分

    ∴  （）。……………………………………7分

    （Ⅱ）2008年诺贝尔奖发奖后基金总额为：

     ，…………………………………………10分

    2009年度诺贝尔奖各项奖金额为万美元， ………12分

    与150万美元相比少了约14万美元。     …………………………………………14分

    答：新闻 “2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”不真，是假新闻。……15分

    18．解：（Ⅰ）圆与轴交点坐标为，

    ，，故，    …………………………………………2分

    所以，

    椭圆方程是：               …………………………………………5分

    （Ⅱ）设直线与轴的交点是，依题意，

    即,

    ,

    ,

    ,

     

    （Ⅲ）直线的方程是，…………………………………………………6分

    圆D的圆心是，半径是，……………………………………………8分

    设MN与PD相交于，则是MN的中点，且PM⊥MD，

    ……10分

    当且仅当最小时，有最小值，

    最小值即是点到直线的距离是，…………………12分

    所以的最小值是。  ……………………………15分

     

    19．解：（Ⅰ）点的坐标依次为，，…，

    ，…，           ……………………………2分

    则，…，

    若共线；则，

    即，

    即， ……………………………4分

    ，

    ，

    所以数列是等比数列。          ……………………………………………6分

    （Ⅱ）依题意，

    ，

    两式作差，则有：，   ………………………8分

    又，故，   ……………………………………………10分

    即数列是公差为的等差数列；此数列的前三项依次为

    ，

    由，可得，

    故，或，或。           ………………………………………12分

    数列的通项公式是，或，或。    ………14分

    由知，时，不合题意；

    时，不合题意；

    时，；

    所以，数列的通项公式是。  ……………………………………16分

     

    20．解：（Ⅰ）函数定义域，

    ，    ……………………………………………4分

    （Ⅱ），由（Ⅰ）

    ，，

    ，单调递增，

    所以。

    设，

    则，

    即，也就是。

    所以，存在值使得对一个，方程都有唯一解。………10分

    （Ⅲ），

    ，

    以下证明，对的数及数，不等式不成立。

    反之，由，亦即成立，

    因为，，

    但，这是不可能的。这说明是满足条件的最小正数。

    这样不等式恒成立，

    即恒成立，

    ∴  ，最小正数=4 。……………………16分

     

     第二部分（加试部分）

    21．（A）解：AD2=AE?AB，AB=4，EB=3      ……………………………………4分

    △ADE∽△ACO，                ……………………………………………8分

    CD=3                         ……………………………………………10分

    （B）解：（Ⅰ），

    所以点在作用下的点的坐标是。…………………………5分

    （Ⅱ），

    设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，

    则，

    也就是，即，

    所以，所求曲线的方程是。……………………………………………10分

    （C）解：由已知圆的半径为，………4分

    又圆的圆心坐标为，所以圆过极点，

    所以，圆的极坐标方程是。……………………………………………10分

    （D）证明：

    ＜            ……………………………………6分

    =2－

    ＜2                              ……………………………………10分

     

     

     

    22．解：（Ⅰ）∵，∴，

    ∴切线l的方程为，即．……………………………………………4分

    （Ⅱ）令＝0，则．令＝0，则x＝1．

     ∴A＝＝＝．………………10分

    23．解：（Ⅰ）记“该生在前两次测试中至少有一次通过”的事件为事件A，则

    P(A)=

    答：该生在前两次测试中至少有一次通过的概率为。 …………………………4分

    （Ⅱ）参加测试次数的可能取值为2，3，4，

          ，

        ，

          ，    ……………………………………………7分

            故的分布列为：

    2

    3

    4

         ……………………………………………10分

    　

     

     


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