设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且

AP

=

8

5

PQ

．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：x+

3

y+3=0相切，求椭圆C的方程．

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞1）右焦点为F，它与直线l：y=k（x+1）相交于P、Q两点，l与x轴的交点M到椭圆左准线的距离为d，若椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项．
（1）求椭圆离心率e；
（2）设N与M关于原点O对称，若以N为圆心，b为半径的圆与l相切，且

OP

•

OQ

=-

5

3

求椭圆C的方程．

设椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C₂：y=x²-1与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设M（0，-

4

5

），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁与F₂，直线y=x-1过椭圆的一个焦点F₂且与椭圆交于P、Q两点，若△F₁PQ的周长为4

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C经过伸缩变换

x′= 2 2 x y′=y

变成曲线C'，直线l：y=kx+m与曲线C'相切且与椭圆C交于不同的两点A、B，若

OA

•

OB

=λ，且

2

3

≤λ≤

3

4

，求△OAB面积的取值范围．（O为坐标原点）

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右两个焦点分别为F₁，F₂，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且F₁PF₂Q为正方形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过点B作此正方形的外接圆的切线在x轴上的一个截距为-

3 2

4

，求此椭圆方程．