Question

设椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C₂：y=x²-1与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设M（0，-

4

5

），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）抛物线C₂：y=x²-1与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．求出B，F₁，F₂点的坐标，即可求出椭圆的半长轴与半焦距，再求出a写出椭圆方程．
（Ⅱ）设N（t，t²-1），表示出过点N的抛物线的切线方程，与椭圆的方程联立，利用弦长公式表示出线段PQ的长度，再求出点M到直线PQ的距离为d，表示出△MPQ面积，由于其是参数t的函数，利用函数的知识求出其最值即可得到，△MPQ的面积的最大值

解答：解：（Ⅰ）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2．
令y=0得x²-1=0即x=±1，则F₁（-1，0），F₂（1，0），故c=1．
所以a²=b²+c²=5．于是椭圆C₁的方程为：

x2

5

+

y2

4

=1．（3分）
（Ⅱ）设N（t，t²-1），由于y'=2x知直线PQ的方程为：y-（t²-1）=2t（x-t）．即y=2tx-t²-1．（4分）
代入椭圆方程整理得：4（1+5t²）x²-20t（t²+1）x+5（t²+1）²-20=0，△=400t²（t²+1）²-80（1+5t²）[（t²+1）²-4]=80（-t⁴+18t²+3），x1+x2=

5t(t2+1)

1+5t2

，x1x2=

5(t2+1)2-20

4(1+5t2)

，
故|PQ|=

1+4t2

|x1-x2|=

1+4t2

.

(x1+x2)2-4x1x2

=

5 • 1+4t2 • -t4+18t2+3

1+5t2

．（7分）
设点M到直线PQ的距离为d，则d=

| 4 5 -t2-1|

1+4t2

=

|t2+ 1 5 |

1+4t2

．（9分）
所以，△MPQ的面积S=

1

2

|PQ|•d=

1

2

5 • 1+4t2 • -t4+18t2+3

1+5t2

•

t2+ 1 5

1+4t2

=

5

10

-t4+18t2+3

=

5

10

-(t2-9)2+84

≤

5

10

84

=

105

5

（11分）
当t=±3时取到“=”，经检验此时△＞0，满足题意．
综上可知，△MPQ的面积的最大值为

105

5

．（12分）

点评：本题考查圆锥曲线的综合，解题的关键是利用抛物线的方程求出椭圆方程中参数的值，以及利用抛物线线上的点的切线方程与圆联立利用弦长公式与点到直线的距离公式分别求出三角形的底边长度与高，表示出△MPQ的面积利用函数的知识求出最值，本题综合性强，运算量大，要避免运算出错，变形出错．