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    (本题满分15分.第1小题6分.第2小题9分) 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    (本题满分13分)

    某班几位同学组成研究性学习小组，对岁的人群随机抽取n人进行了一次日常生活中是否

    具有环保意识的调查. 若生活习惯具有环保意识的称为“环保族”，否则称为 “非环保族”，得到如下统计表：

    组数

    分组

    环保族人数

    占本组的频率

    本组占样本的频率

    第一组

    120

    0.6

    0.2

    第二组

    195

    p

    q

    第三组

     100:]

    0.5

    0.2

    第四组

    a

    0.4

    0.15

    第五组

    30

    0.3

    0.1

    第六组

    15

    0.3

    0.05

    （Ⅰ）求q、n、a、p的值；

    （Ⅱ）从年龄段在的“环保族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外环保活动，其中选取2人

    作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在的概率.

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    （本小题满分12分）
    某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：

    组号
    		分组
    		频数
    		频率
    第一组

    		8
    		0.16
    第二组

    		①
    		0.24
    第三组

    		15
    		②
    第四组

    		10
    		0.20
    第五组

    		5
    		0.10
    合             计
    		50
    		1.00
    (1)写出表中①②位置的数据；
    (2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；
    (3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．

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    （本小题满分12分）

    第8届中学生模拟联合国大会将在本校举行，为了搞好接待工作，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：

                           男             女

                                   15    7  7  8  9  9  9

    9  8   16    0  0  1  2  4  5  8  9

    8  6  5  0   17    2  5  6

    7  4  2  1   18    0 

    1  0   19

    若男生身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”， 在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”， 女生身高在170cm以上（包括170cm）定义为“高个子”，在170cm以下（不包括170cm）定义为“非高个子”．

    （1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取6人，则应分别抽取“高个子”、“非高个子”各几人？

    （2）从（1）中抽出的6人中选2人担任领座员，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

     

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    （本小题满分15分）

        在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图。

    在选取的40名学生中。

       （I）求成绩在区间内的学生人数；

       （II）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90，100]内的概率。

     

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    （本小题满分12分）
    第8届中学生模拟联合国大会将在本校举行，为了搞好接待工作，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：
                           男             女
                                   15    7  7  8  9  9  9
    9  8   16    0  0  1  2  4  5  8  9
    8  6  5  0   17    2  5  6
    7  4  2  1   18    0 
    1  0   19
    若男生身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”， 在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”， 女生身高在170cm以上（包括170cm）定义为“高个子”，在170cm以下（不包括170cm）定义为“非高个子”．
    （1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取6人，则应分别抽取“高个子”、“非高个子”各几人？
    （2）从（1）中抽出的6人中选2人担任领座员，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

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    一、填空题（每题5分，理科总分55分、文科总分60分）：

    1. ；      2. 理：2；文：；      3. 理：1.885；文：2；

    4. 理：；文：1.885；   5. 理：；文：4；   6. 理：；文：；

    7. 理：；文：；     8. 理：；文：6；    9. 理：；文：；

    10. 理：1； 文：；    11. 理：；文：；     12. 文：；

    二、选择题（每题4分，总分16分）：

    题号

    理12；文13

    理13；文14

    理：14；文：15

    理15；文：16

    答案

    A

    C

    B

    C

     

    三、解答题：

    16.（理，满分12分）

    解：因为抛物线的焦点的坐标为，设、，

    由条件，则直线的方程为，

    代入抛物线方程，可得，则.

    于是，.

     

    …2

     

     

    …4

     

    …8

     

     

    …12

    17.（文，满分12分）

    解：因为，所以由条件可得，.

    即数列是公比的等比数列.

    又，

    所以，.

     

     

     

    …4

     

    …6

     

     

    …8

     

    …12

    （理）17.（文）18. （满分14分）

    解：因为

    所以，

    即或，

    或，

    又由，即

    当时，或；当时，或.

    所以，集合.

     

     

     

    …3

     

     

    …7

     

     

     

    …11

     

     

     

     

     

     

    …14

    18.(理，满分15分，第1小题6分，第2小题9分）

    解：（1）当时，

     

    故，，所以.

    （2）证：由数学归纳法

    （i）当时，易知，为奇数；

    （ii）假设当时，，其中为奇数；

    则当时，

             

    所以，又、，所以是偶数，

    而由归纳假设知是奇数，故也是奇数.

    综上（i）、（ii）可知，的值一定是奇数.

    证法二：因为

    当为奇数时，

    则当时，是奇数；当时，

    因为其中中必能被2整除，所以为偶数，

    于是，必为奇数；

    当为偶数时，

    其中均能被2整除，于是必为奇数.

    综上可知，各项均为奇数.

     

     

    …3

     

     

     

     

     

     

    …6

     

     

     

     

    …8

     

     

     

     

    …10

     

     

     

    …14

     

    …15

     

     

     

     

     

     

     

     

    …10

     

     

     

     

    …14

     

    …15

    19. （文，满分14分）

    解：如图，设中点为，联结、.

    由题意，,,所以为等边三角形，

    故，且.

    又，

    所以.

    而圆锥体的底面圆面积为,

    所以圆锥体体积.

     

     

     

     

    …3

     

     

     

    …8

     

    …10

     

    …14

    （理）19. （文）20. （满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

    解：（1）由题意，当和之间的距离为1米时，应位于上方，

    且此时中边上的高为0.5米.

    又因为米，可得米.

    所以，平方米，

    即三角通风窗的通风面积为平方米.

    （2）1如图（1）所示，当在矩形区域滑动，即时，

    的面积；

    2如图（2）所示，当在半圆形区域滑动，即时，

    ，故可得的面积

     

    ；

    综合可得：

    （3）1当在矩形区域滑动时，在区间上单调递减，

    则有；

    2当在半圆形区域滑动时，

    ，

    等号成立，.

    因而当（米）时，每个三角通风窗得到最大通风面积，最大面积为（平方米）.

     

     

     

     

    …2

     

     

     

     

    …4

     

     

     

     

     

     

    …6

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    …9

     

     

     

     

     

    …10

     

     

     

     

     

    …12

     

     

     

     

     

     

    …15

     

     

     

    …16

    21（文，满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）

    解：（1）设右焦点坐标为（）.

    因为双曲线C为等轴双曲线，所以其渐近线必为，

    由对称性可知，右焦点到两条渐近线距离相等，且.

    于是可知，为等腰直角三角形，则由，

    又由等轴双曲线中，.

    即，等轴双曲线的方程为.

    （2）设、为双曲线直线的两个交点.

    因为，直线的方向向量为，直线的方程为

    .

    代入双曲线的方程，可得，

    于是有

    而

              .

    （3）假设存在定点，使为常数，其中，为直线与双曲线的两个交点的坐标.

       ①当直线与轴不垂直时，设直线的方程为

    代入，可得.

       由题意可知，，则有 ，．

    于是，

    要使是与无关的常数，当且仅当，此时.

     ②当直线与轴垂直时，可得点,，

     若，亦为常数.

    综上可知，在轴上存在定点，使为常数.

     

     

     

     

     

     

    …3

     

     

     

    …5

     

     

     

     

     

     

    …7

     

     

     

    …9

     

     

     

     

     

    …11

     

     

     

     

     

     

     

     

    …13

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    …16

     

     

    …17

     

    …18

     

    20（理，满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）

    解：（1）解法一：由题意，四边形是直角梯形，且∥，

    则与所成的角即为.

    因为，又平面，

    所以平面，则有.

        因为，,

    所以，则，

    即异面直线与所成角的大小为.

    解法二：如图，以为原点，直线为轴、直线为轴、直线为轴，

    建立空间直角坐标系.

    于是有、，则有，又

    则异面直线与所成角满足,

        所以，异面直线与

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