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已知函数f(x)=

x2

x+m

的图象经过点（4，8）．
（1）求该函数的解析式；
（2）数列{a_n}中，若a₁=1，S_n为数列{a_n}的前n项和，且满足a_n=f（S_n）（n≥2），
证明数列{

1

Sn

}成等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（3）另有一新数列{b_n}，若将数列{b_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数b₁，b₂，b₄，b₇，…，构成的数列即为数列{a_n}，上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当b81=-

4

91

时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和．

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已知各项均为正数的两个无穷数列{a_n}、{b_n}满足a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）当数列{a_n}是常数列（各项都相等的数列），且b₁=

1

2

时，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{a_n}、{b_n}都是公差不为0的等差数列，求证：数列{a_n}有无穷多个，而数列{b_n}惟一确定；
（Ⅲ）设a_n+1=

2an2+an

an+1

(n∈N*)，S_n=

2n

i=1

bi，求证：2＜

Sn

n2

＜6．

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一、AADCB  DCACB  DA

二、(13)160；(14)6π；(15)8；(16)①②③

三、(17)解：(Ⅰ)f(x)=(sinx+cosx)²=[sin(x+]²=[g(x)]²

   由f(x)=g(x),得g(x)=0,或g(x)=1

   ∴sin(x+)=0,或sin(x+)=1……………………………………………3分

   ∵-

   ∴x+=0,或x+=,或x+=

   x=-或x=0或x=

   所求x值的集合为{-,0,} …………………………………………………7分

   (Ⅱ)由(Ⅰ)知，

   解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,得

   2kπ+≤x≤2kπ+…………………………………………………………9分

   ∵-≤x≤且x≠-,

   ∴≤x≤

   ∴函数的单调递减区间为[，]………………………………………12分

18.解：依题意，ξ的可能值为-6000，3000，12000，5000，14000，16000，…2分

  P(ξ=-6000)=0.05²=0025，

  P(ξ=3000)=2×0.2×0.05=0.02，

  P(ξ=12000)=0.2²=0.4，

  P(ξ=5000)=2×0.75×0.05×=0.075，

  P(ξ=14000)= 2×0.75×0.2×=0.3，

  P(ξ=16000)=0.075²=0.5625…………………………………………………………8分

  ξ的分布列为

ξ

-6000

3000

12000

5000

14000

16000

P

0.0025

0.02

0.04

0.075

0.3

0.5625

……………………………………………………………………………………………10分

ξ的期望为

  Eξ=-6000×0.0025+3000×0.02+12000×0.04+5000×0.075+14000×0.3+16000×0.5625=14100(元)        ………………………………………………………12分

19.解法一：(Ⅰ)∵PO⊥平面ABCD，∴OD为PD在平面ABCD内的射影

  又ABCD为菱形，∴AC⊥OD，∴AC⊥PD，即PD⊥AC

  在菱形ABCD中，∵∠DAB=60°，

  分∴OD=AO?cot60°=1

  在Rt△POD中，PD=，由PE：ED=3：1，得

  DE=又∠PDO=60°，

 ∴OE²=OD²+DE²-2OD?DEcos60°=

∴OE²+DE²=OD²，∴∠OED=90°,即PD⊥OE

 PD⊥平面EAC…………………………………………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA,PD⊥EC,则∠AEC为二面角A-PD-C的平面角tan∠AEO=，易知OE为AC的垂直平分线，所以∠AEC=2∠AEO，

∴cos∠AEC=cos²∠AEO-sin²∠AEO

=………………………………………8分

(Ⅲ)由O为BD中点，知点B到平面PDC的距离等于点O到平面PDC距离的2倍，由(Ⅰ)知，平面OEC⊥平面PDC，作OH⊥CE，垂足为H，则OH⊥平面PDC，在Rt△OEC中，∠EOC=90°，OC=

  ∴OH=

  所以点B到平面PDC的距离为……………………………………………12分

 解法二：建 立如图所示的坐标系O-xyz，其中A(0，-，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，).

(Ⅰ)由PE：ED=3：1，知E(-)

∵

∴

∴PD⊥OE，PD⊥AC，∴PD⊥平面EAC……………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA，PD⊥EC，则∠AEC为二面角A-PD-C的平面角

∵

∴cos∠AEC=cos<……………………………………………8分

(Ⅲ)由OBD中点知，点B到平面PDC的距离为点O到平面PDC距离的2倍，又，cos∠OED=cos<

所以点B到平面PDC的距离为

d=2………………………………………………12分

20.解：(Ⅰ)x-f₁(x)=0,即x-，解得x₁=0,x₂=1,x₃=-1.

 所以，函数f₁(x)的不动点为0，1，-1. ………………………………………………4分

(Ⅱ)令g(x)=x-f₂(x)=x-log_ax(x>0)，则g′(x)=1-…………6分

(1)若0<a<1,则log_ae<0,g′(x)>0,则g(x)在(0，+∞)内单调递增.

又g(a)=a-1<0,g(1)=1>0,所以g(x)=0即x-f₂(x)=0在(0，1)内有一根. ………………8分

(2)若a>1,则当x∈(0，log_ae)时，g′<0,g(x)单调递减，当x∈(log_ae,+∞)时，g′(x)<0,g(x)单调递增；当x=log_ae时，g(x)有最小值log_ae-log_a(log_ae).

由g(1)=1>0知，当且仅当log_ae-log_a(log_ae)≤0时，g(x)=0即x-f₂(x)=0有实根.

由a>1，知log_ae-log_a(log_ae)≤0   …………………11分

综合所述，a的取值范围是(0，1)∪(1，e).   …………………………………………12分

21.解：由已知，F()，双曲线的渐近线y=±x的方向向量为v=(1,±1),当l斜率k不存在时，不失一般性，取A(，-1)、B(，-1)、B(，1)，则在v上的投影的绝对值为，不合题意   ………………………………………………2分

  所以l的斜率k存在，其方程为y=k(x-).

  由得(k²-1)x²-2k²x+2k²+1=0(k²≠1)

 设A(x₁,k(x₁-))、B(x₂,k(x₂-)),则x₁+x₂=     ………………6分

当v=(1，1)时，设与v的夹角为θ，则=(x₂-x₁,k(x₂-x₁))在v上投影的绝对值

=

=

由，得2k²-5k+2=0,k=2或k=.

根据双曲线的对称性知，当v=(1,-1)时，k=-2或k=.

       所以直线l的方程为y=±2(x-)或y=±.…………………12分

22.解：(Ⅰ)(i)a_n=1-1+1-…+(-1)^n-1=.………………………………3分

  (ii)用数学归纳法证明：

  (1)当n=1时，由f₁(x)=1+x,知b₁=0，而=0，等式成立. ……4分

  (2)假设当n=k时等式成立，即b_k= -,

  那么由f_k+1(x)=f_k(x)[1+(-1)^(k+1)-1x]=f_k(x)[1+(-1)^kx],得

  b_k+1=b_k+(-1)^ka_k=-

  =

  =-

  等式仍然成立. …………………………………………………………………8分

  根据(1)和(2)知，对任意n∈N*,都有b_n=-……………………9分

  (Ⅱ)c_n=1-2+2²+…+(-2)^n-1=……………………………11分

  由g₁(x)=1-x,知d₁=0,

  当n≥2时，由g_n(x)=g_n-1(x)[1+(-2)^n-1x],知d_n=d_n-1+(-2)^n-1c_n-1,

  ∴d_n-d_n-1=(-2)^n-1c_n-1=(-2)^n-1?.

  ∴d_n=d₁+(d₂-d₁)+(d₃-d₂)+…+(-2)(d_n-d_n-1)

=0+

=

=

=

当n=1时上式也成立.

∴d_n=……………………………………………………14分