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（本小题满分12分）
一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球，分别标有不同的数字2，3，4，，现从袋中随机摸出2个球，并计算摸出的这2个球上的数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验。记A事件为“数字之和为7”.试验数据如下表

摸球总次数	10	20	30	60	90	120	180	240	330	450
“和为7”出现的频数	1	9	14	24	26	37	58	82	109	150
“和为7”出现的频率	0.10	0.45	0.47	0.40	0.29	0.31	0.32	0.34	0.33	0.33

（参考数据：）
（Ⅰ）如果试验继续下去，根据上表数据，出现“数字之和为7”的频率将稳定在它的概率附近。试估计“出现数字之和为7”的概率，并求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设定一种游戏规则：每次摸2球，若数字和为7，则可获得奖金7元，否则需交5元。某人摸球3次，设其获利金额为随机变量元，求的数学期望和方差。

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（本小题满分12分）探究函数的最小值，并确定取得最小值时x的值.列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	16	10	8.34	8.1	8.01	8	8.01	8.04	8.08	8.6	10	11.6	15.14	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题.
(1)函数在区间（0，2）上递减；函数在区间                     上递增.当             时，                 .
(2)证明：函数在区间（0，2）递减.
(3)思考：函数时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

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一、选择题：1~12(5×12=60)

题号

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

答案

B

A

B

C

D

B

D

C

B

C

C

D

二、填空题：13、B；14、-；15、3²⁰⁰⁵；16、(2-2，2)。

三、解答题：

17.解：(1)根据已知条件得：△=16sin2θ-4atanθ=0

              即：a=2sin2θ                                                                2分

              又由已知：

              得                                                                              4分

              所以有0<sin2θ<1

              所以a∈(0，2)                                                                            6分

         (2)当a=时由(1)得2sin2θ=                                                     8分

              所以sinθ=，而sin2θ=-cos(+2θ)

                                                 =-2cos2()+1=                               10分

              所以cos²()=,又

              所以cos()=-                                                                 12分

18.解：(1)f′(x)=6x²-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)                                              3分

              ∵函数f(x)在x=3处取得极值

              ∴x=3时，f′(x)=0

∴a=3                                                                                         5分

          (2)f′(x)=6(x-1)(x-a)

              i)当a=1时，f′(x)≥0恒成立

               函数f(x)在(-∞，+∞)上单调增                                                  7分

              ii)当a<1时，由f′(x)>0得x<1或x>a

                ∴单调增区间为(-∞，1)，(a,+∞)                                           9分

              iii)当a>1时，由f′(x)>0得x<1或x>a

                ∴单调增区间为(-∞，1)，(a,+∞)                                           11分

                综上：当a=1时，函数f(x)的增区间为(-∞，+∞)

                当a<1时，函数f(x)的增区间为

                (-∞，1)，(1，+∞)

                当a>1时，函数f(x)的增区间为

                (-∞，1)，(a，+∞)                                                                 12分

19.(九A解法)解：(1)取AC、CC₁中点分别为M、N，连接MN、NB₁、MB₁，

              ∵AC₁∥MN，NB₁∥CE

              ∴∠MNB₁是CE与AC₁成角的补角                                            2分

              Rt△NB₁C₁中，NB₁=

              Rt△MNC中，MN=6

              Rt△MBB₁中，MB₁=

              ∴cos∠MNB₁=-

              ∴CE与AC₁的夹角为arccos                                                4分

         (2)过D作DP∥AC交BC于P，则A₁D在面BCC₁B₁上的射影为C₁P，而CE⊥A₁D，由三垂线定理的逆定理可得CE⊥C₁P，又BCC₁B为正方形

              ∴P为BC中点，D为AB中点，                                                6分

              ∴CD⊥AB，CD⊥AA₁

              ∴CD⊥面ABB₁A₁                                                                       8分

         (3)由(2)CD⊥面A₁DE

              ∴过D作DF⊥A₁E于F，连接CF

              由三垂线定理可知CF⊥A₁E

              ∴∠CFD为二面角C-A₁E-D的平面角                                         10分

              又∵A₁D=

              ∴A₁D²+DE²=A₁E²=324

              ∴∠A₁DE=90°

              ∴DF=6，又CD=6

              ∴tan∠CFD=1

              ∴∠CFD=45°

∴二面角C-A₁E-D的大小为45°                                                12分

       (此题也可通过建立空间直角坐标系，运用向量的方法求解)

20.解：由已知得：

              不等式x2+px-4x-p+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

              即：p(x-1)+x²-4x+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

              令f(p)=p(x-1)+x²-4x+3

              则有函数f(p)在p∈[0，4]上大于零恒成立。                               4分

          (1)显然当x=1时不恒成立

          (2)当x≠1时，有即x>3或x<-1                             10分

              所以x∈(3+∞)U(-∞,-1)为所求                                                   12分

21.解：(1)经观察得第一行有2⁰个数，第二行有2¹个数，第三行有2²个数，第四行有2³个数------

              因此前n行有2⁰+2¹+2²+2³+---+2^n-1=个数

              所以，第n行的最后一个数是2ⁿ-1                                              4分

          (2)由(1)知，前n-1行菜有2^n-1-1个数，因此，第n行的第一个数为2n-1,第n行的最后一个是2n-1,它们构成公差为1的等差数列。

              因此，由等差数列前n项和公式有：

                              8分

          (3)因为2¹⁰=1024

                       2¹¹=2048

                       2¹⁰<2008<2¹¹

               所以2008位于第11行

              该行第一个数是2¹⁰=1024，由2008-1024+1=985

              所以2008是第11和的985个数 。                                              12分

22.解：(1)由已知可设F(c，0)，Q(x₁,y₁)

         则

         ∵

         ∴c(x₁-c)=1

         ∴x₁=                                                                                    2分

       又直线FQ的方程为：y=tanθ(x-c)

       ∴y₁=

       而S=

              =

              =tanθ                                                                                     4分

       又已知<S<2

       ∴      tanθ<4

       又θ为锐角

       ∴<arctan4                                                                                7分