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如图（1），在直角梯形ACC₁A₁中，∠CAA₁=90°，AA₁∥CC₁，AA₁=4，AC=3，CC₁=1，点B在线段AC上，AB=2BC，BB₁∥AA₁，且BB₁交A₁C₁于点B₁．现将梯形ACC₁A₁沿直线BB₁折成二面角A-BB₁-C，设其大小为θ．
（1）在上述折叠过程中，若90°≤θ≤180°，请你动手实验并直接写出直线A₁B₁与平面BCC₁B₁所成角的取值范围．（不必证明）；
（2）当θ=90°时，连接AC、A₁C₁、AC₁，得到如图（2）所示的几何体ABC-A₁B₁C₁，
（i）若M为线段AC₁的中点，求证：BM∥平面A₁B₁C₁；
（ii）记平面A₁B₁C₁与平面BCC₁B₁所成的二面角为α（0＜α≤90°），求cosa的值．

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（2011•莆田模拟）如图（1），在直角梯形ACC₁A₁中，∠CAA₁=90°，AA₁∥CC₁，AA₁=4，AC=3，CC₁=1，点B在线段AC上，AB=2BC，BB₁∥AA₁，且BB₁交A₁C₁于点B₁．现将梯形ACC₁A₁沿直线BB₁折成二面角A-BB₁-C，设其大小为θ．
（1）在上述折叠过程中，若90°≤θ≤180°，请你动手实验并直接写出直线A₁B₁与平面BCC₁B₁所成角的取值范围．（不必证明）；
（2）当θ=90°时，连接AC、A₁C₁、AC₁，得到如图（2）所示的几何体ABC-A₁B₁C₁，
（i）若M为线段AC₁的中点，求证：BM∥平面A₁B₁C₁；
（ii）记平面A₁B₁C₁与平面BCC₁B₁所成的二面角为α（0＜α≤90°），求cosa的值．

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一．选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

C

B

B

A

B

D

二．填空题：

9．6、30、10；                 10．?5；               11．；

12．?250；                     13．；              14．③④

三．解答题：

15．解： ；  ………5分

方程有非正实数根

综上： ……………………12分16．解:(I)设袋中原有个白球,由题意知

可得或(舍去)

答：袋中原有3个白球. 。。。。。。。。4分

(II)由题意,的可能取值为1,2,3,4,5

所以的分布列为:

1

2

3

4

5

。。。。。。。。。9分

(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则

答：甲取到白球的概率为.。。。。。。。。13分

17．解：（1）由＝.＝，∴＝1；。。。。。。。。。4分

（2）任取、∈（1，＋∞），且设＜，则：

－＝＞0，

∴＝在（1，＋∞）上是单调递减函数；。。。。。。。。。8分

（3）当直线＝（∈R）与的图象无公共点时，＝1，

∴＜2＋＝4＝，｜－2｜＋＞2，

得：＞或＜．。。。。。。。。13分

18．（Ⅰ）证明：∵底面，底面，　∴

　　　又∵且平面，平面，，

　　　　∴平面；３分

（Ⅱ）解：∵点分别是的中点，

∴，由（Ⅰ）知平面，

∴平面，

∴，，

∴为二面角的平面角，

∵底面，∴与底面所成的角即为，

∴＝，∵为直角三角形斜边的中点，

∴为等腰三角形，且，∴；

（Ⅲ）过点作交于点，∵底面,

　　　∴底面,为直线在底面上的射影，

　　　要，由三垂线定理的逆定理有要 ，

　设，则由得，

　又∴在直角三角形中，，

∴，

∵　∴，，

在直角三角形中，，

　，即时，．

（Ⅲ）以点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，设，则，，设，则

则，，,

，时时，.

19  证明：（1）对任意x₁, x₂∈R, 当 a0,

有 =                         =……（3分）

∴当时，，即

  当时，函数f(x)是凸函数.   ……（4分）

 （2） 当x=0时, 对于a∈R，有f(x)≤1恒成立；当x∈(0, 1]时, 要f(x)≤1恒成立

即， ∴ 恒成立，∵ x∈(0, 1], ∴ ≥1, 当=1时, 取到最小值为0，∴ a≤0, 又a≠0,∴ a的取值范围是.

由此可知，满足条件的实数a的取值恒为负数，由（1）可知函数f(x)是凸函数………10分

（3）令则，∵，∴，……………..(11)分

令，则，故；

若，则

；，……………..(12)分

若，则 ∴；∴时，.

综上所述，对任意的，都有；……………..(13)分

所以，不是R上的凸函数. ……………..(14)分

对任意，有，

所以，不是上的凸函数. ……………..(14)分

20. 解：（1）设数列的前项和为，则

……….4分

（2）为偶数时，

为奇数时，

………9分

（3）方法1、因为所以

当，时，，时

又由，两式相减得

 所以若，则有………..14分

方法2、由，两式相减得

………..11分

所以要证明，只要证明

或①由：

所以…………………14分

或②由：

…………………14分

数学归纳法：①当

当

②当

当

综上①②知若，则有.

所以，若，则有.。。。。。。。。。14分