Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD,ADAB，CD//AB且AB=AD，PA与底面ABCD成60角，点M，N分别是PA，PB的中点.

（Ⅰ）求证：AB平面PAD；

（Ⅱ）求二面角P-MN-D的大小；

（Ⅲ）当为何值时，DNBC，并请证明你的结论.

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵PD底面ABCD，AB底面ABCD，∴PDAB

　　　又∵ADAB且AD平面PAD，PDAD=D，

　　　　∴AB平面PAD；３分

（Ⅱ）解：∵点M，N分别是PA，PB的中点，

∴MN//AB，由（Ⅰ）知AB平面PAD，

∴MN平面PAD，

∴MNPM，MNMD，

∴PMD为二面角P-MN-D的平面角，

∵PD底面ABCD，∴PA与底面ABCD所成的角即为PAD，

∴PAD＝60，∵为直角三角形斜边的中点，

∴为等腰三角形，且MPD＝30，∴PMD＝120；

（Ⅲ）过点N作NO//PD交BD点O，∵PD底面ABCD,

　　　∴NO底面ABCD,BD为直线ND在底面ABCD上的射影，

　　　要DNBC，由三垂线定理的逆定理有要BDBC，

　设AD=，则由AB=AD得AB=，

　又ADAB∴在直角三角形ABD中，BD=，

∴，

∵CD//AB，∴ABD=BDC，cosABD=cosBDC=，

在直角三角形BDC中，

DC=，

，即时，DNBC

（Ⅲ）以点D为坐标原点，建立如图的直角坐标系，设AD=，则AB=2，PD=，设DC=，则

A(,0,0),B(,2,0),P(0,0,),C(0, ,0)

则N()，，,

而，时时，

而.