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    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分14分）甲、乙两间商店购进同一种商品的价格均为每件30元，销售价均为每件50元．根据前5年的有关资料统计，甲商店这种商品的年需求量服从以下分布：

    10

    20

    30

    40

    50

    0.15

    0.20

    0.25

    0.30

    0.10

    乙商店这种商品的年需求量服从二项分布．

    若这种商品在一年内没有售完，则甲商店在一年后以每件25元的价格处理；乙商店一年后剩下的这种商品第1件按25元的价格处理，第2件按24元的价格处理，第3件按23元的价格处理，依此类推．今年甲、乙两间商店同时购进这种商品40件，根据前5年的销售情况，请你预测哪间商店的期望利润较大？

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    （本小题满分14分）
    有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第项为，公差为，并且成等差数列．
    （Ⅰ）证明（，是的多项式），并求的值
    （Ⅱ）当时，将数列分组如下：
    (每组数的个数构成等差数列)．
    设前组中所有数之和为，求数列的前项和．
    （Ⅲ）设是不超过20的正整数，当时，对于（Ⅱ）中的，求使得不等式
    成立的所有的值．

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    .（本小题满分14分）电视台应某企业之约播放两套连续剧.其中，连续剧甲每次播放时间为80min，其中广告时间为1min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40min，其中广告时间为1min，收视观众为20万.已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6min广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320min的节目时间（此时间不包含广告）.如果你是电视台的制片人，电视台每周播映两套连续剧各多少次，才能获得最高的收视率?

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    （本小题满分14分）
    广州市为了做好新一轮文明城市创建工作，有关部门为了解市民对《广州市创建全国文明城市小知识》的熟知程度，对下面两个问题进行了调查：
    问题一：《广州市民“十不”行为规范》有哪“十不”？
    问题二：广州市“一约三则”的内容是什么？
    调查结果显示，年龄段的市民回答第一个问题的正确率为，年龄段的市民回答第二个问题正确率为.
    为使活动得到市民更好的配合，调查单位采取如下激励措施：正确回答问题一者奖励价值20元的礼物；正确回答问题二奖励价值30元的礼物，有一家庭的两成员（大人42岁，孩子13岁）参与了此项活动，小孩回答第一个问题，大人回答第二个问题，问这个家庭获得礼物价值的数学期望是多少？

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    （本小题满分14分）某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：

     

    产品A(件)

    产品B(件)

     

    研制成本与搭载

    费用之和(万元/件)

    20

    30

    计划最大资金额300万元

    产品重量(千克/件)

    10

    5

    最大搭载重量110千克

    预计收益(万元/件)

    80

    60

     

    试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？

     

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    一．选择题：

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    答案

    C

    A

    C

    B

    B

    A

    B

    D

    二．填空题：

    9．6、30、10；                 10．?5；               11．；

    12．?250；                     13．；              14．③④

    三．解答题：

    15．解： ；  ………5分

    方程有非正实数根

     

    综上： ……………………12分16．解:(I)设袋中原有个白球,由题意知

    可得或(舍去)

    答：袋中原有3个白球. 。。。。。。。。4分

    (II)由题意,的可能取值为1,2,3,4,5

     

    所以的分布列为:

    1

    2

    3

    4

    5

    。。。。。。。。。9分

    (III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则

    答：甲取到白球的概率为.。。。。。。。。13分

    17．解：（1）由＝.＝，∴＝1；。。。。。。。。。4分

    （2）任取、∈（1，＋∞），且设＜，则：

    －＝＞0，

    ∴＝在（1，＋∞）上是单调递减函数；。。。。。。。。。8分

    （3）当直线＝（∈R）与的图象无公共点时，＝1，

    ∴＜2＋＝4＝，｜－2｜＋＞2，

    得：＞或＜．。。。。。。。。13分

    18．（Ⅰ）证明：∵底面，底面，　∴

    　　　又∵且平面，平面，，

    　　　　∴平面；３分

    （Ⅱ）解：∵点分别是的中点，

    ∴，由（Ⅰ）知平面，

    ∴平面，

    ∴，，

    ∴为二面角的平面角，

    ∵底面，∴与底面所成的角即为，

    ∴＝，∵为直角三角形斜边的中点，

    ∴为等腰三角形，且，∴；

    （Ⅲ）过点作交于点，∵底面,

    　　　∴底面,为直线在底面上的射影，

    　　　要，由三垂线定理的逆定理有要 ，

    　设，则由得，

    　又∴在直角三角形中，，

    ∴，

    ∵　∴，，

    在直角三角形中，，

    　，即时，．

    （Ⅲ）以点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，设，则，，设，则

    则，，,

    ，时时，.

     

     

    19  证明：（1）对任意x1, x2∈R, 当 a0,

    有 =                         =……（3分）

    ∴当时，，即

      当时，函数f(x)是凸函数.   ……（4分）

     （2） 当x=0时, 对于a∈R，有f(x)≤1恒成立；当x∈(0, 1]时, 要f(x)≤1恒成立

    即， ∴ 恒成立，∵ x∈(0, 1], ∴ ≥1, 当=1时, 取到最小值为0，∴ a≤0, 又a≠0,∴ a的取值范围是.

    由此可知，满足条件的实数a的取值恒为负数，由（1）可知函数f(x)是凸函数………10分

    （3）令则，∵，∴，……………..(11)分

    令，则，故；

    若，则

    ；，……………..(12)分

    若，则 ∴；∴时，.

    综上所述，对任意的，都有；……………..(13)分

    所以，不是R上的凸函数. ……………..(14)分

    对任意，有，

    所以，不是上的凸函数. ……………..(14)分

    20. 解：（1）设数列的前项和为，则

    ……….4分

    （2）为偶数时，

    为奇数时，

    ………9分

    （3）方法1、因为所以

    当，时，，时

    又由，两式相减得

     所以若，则有………..14分

    方法2、由，两式相减得

    ………..11分

    所以要证明，只要证明

    或①由：

    所以…………………14分

    或②由：

    …………………14分

    数学归纳法：①当

    当

    ②当

    当

    综上①②知若，则有.

    所以，若，则有.。。。。。。。。。14分

     

     


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