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（2011•潍坊二模）2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏，某国际组织计划派出12名心理专家和18名核专家赴日本工作，临行前对这30名专家进行了总分为1000分的综合素质测评，测评成绩用茎叶图进行了记录，如图（单位：分）．规定测评成绩在976分以上（包括976）为“尖端专家”，测评成绩在976分以下为“高级专家”，且只有核专家中的“尖端专家”才可以独立开展工作，这些专家先飞抵日本的城市E，再分乘三辆汽车到达工作地点福岛县．已知从城市E到福岛县有三条公路，因地震破坏了道路，汽车可能受阻．据了解：汽车走公路I和公路II顺利到达的概率都为

9

10

；走公路III顺利到达的概率为

2

5

，甲、乙、丙三辆车分别走公路I、II、III，且三辆汽车是否顺利到达相互之间没有影响．
（I）如果用分层抽样的方法从“尖端专家”和“高级专家”中选取6人，再从这6人中选2人，那么至少有一人是“尖端专家”的概率是多少？
（Ⅱ）求至少有两辆汽车顺利到达福岛县的概率；
（Ⅲ）若从所有“尖端专家”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能独立开展工作的人数，试写出ξ的数学期望．

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．D  2．Ｃ　3．B　4．Ｂ　5．Ｄ　6．Ｄ　7．Ａ　8．Ｃ

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．72    10．    11．1 ，       12．f(x)=，3

13．，          14．①②③④ , ①③②④

注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（本小题满分13分）

解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是

（7-2 x）人．

 (I)∵，

∴．……………………………………3分

即．

∴．

∴x=2．           ……………………………………5分

故文娱队共有5人．……………………………………7分

(II) 的概率分布列为

0

1

2

P

，……………………………………9分

，……………………………………11分

∴ =1．   …………………………13分

16．（本小题满分13分）

解：(I)由，得

．……………………………………2分

当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．       ①

当时，有极值，则，可得4a+3b+4=0．②

由①、②解得    a=2,b=-4．……………………………………5分

设切线l的方程为  ．

由原点到切线l的距离为，

则．解得m=±1．

∵切线l不过第四象限，

∴m=1．……………………………………6分

由于l切点的横坐标为x=1，∴．

∴1+a+b+c=4．

∴c=5．…………………………………………………………………7分

(II)由(I)可得，

∴．……………………………………8分

令，得x=－2, ．

x

[-3,-2)

-2

(-2, )

(,1]

+

0

-

0

+

f(x)

极大值

极小值

……………………………………11分

∴f(x)在x=－2处取得极大值f(-2)=13．

在处取得极小值=．

又f(-3)=8，f(1)=4．

∴f(x)在[-3,1]上的最大值为13，最小值为．……………………………………13分

17．（本小题满分14分）

解法一：(I) ∵PC平面ABC，平面ABC，

∴PCAB．…………………………2分

∵CD平面PAB，平面PAB，

∴CDAB．…………………………4分

又，

∴AB平面PCB．  …………………………5分

(II) 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．

则为异面直线PA与BC所成的角．………6分

由（Ⅰ）可得AB⊥BC，

∴CFAF．

由三垂线定理，得PFAF．

则AF=CF=，PF=，

在中，  tan∠PAF==，

∴异面直线PA与BC所成的角为．…………………………………9分

（III）取AP的中点E，连结CE、DE．

∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．

∵CD平面PAB，

由三垂线定理的逆定理，得  DE PA．

∴为二面角C-PA-B的平面角．…………………………………11分

由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．

　　在中，PB=，

    ．

    在中， sin∠CED=．

∴二面角C-PA-B的大小为arcsin．……14分

解法二：（I）同解法一．

(II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，

又∵AB=BC，可求得BC=．

以B为原点，如图建立坐标系．

则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），

C（，０，0），P（，０，2）．

，．

…………………7分

    则+0+0=2．

    == ．

   ∴异面直线AP与BC所成的角为．………………………10分

（III）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．

，，

则   即

解得   令= -1,  得 m= (，0，-1)．

   设平面PAC的法向量为n=()．

，，

 则   即

解得   令=1,  得 n= (1，1，0)．……………………………12分

    =．

    ∴二面角C-PA-B的大小为arccos．………………………………14分

18．（本小题满分13分）

解：（I）设P（x，y），因为A、B分别为直线和上的点，故可设

　　　，．

　　　∵，

　　　∴∴………………………4分

　　　又，

　　　∴．……………………………………5分

　　　∴．

　　即曲线C的方程为．………………………………………6分

（II） 设N（s，t），M（x，y），则由，可得（x，y-16）= (s，t-16)．

     故，．……………………………………8分

     ∵M、N在曲线C上，

     ∴……………………………………9分

     消去s得  ．

由题意知，且，

     解得   ．………………………………………………………11分

又   ， ∴．

     解得  （）．

   故实数的取值范围是（）．………………………………13分

19．（本小题满分13分）

解：（I）∵，，，

        ∴．

        即．

        又，可知对任何，，

所以．……………………………2分

        ∵，

      ∴是以为首项，公比为的等比数列．………4分

    （II）由（I）可知=  （）．

        ∴．

        ．……………………………5分

         当n=7时，，；

         当n<7时，，；

         当n>7时，，．

∴当n=7或n=8时，取最大值，最大值为．……8分

  （III）由，得       （*）

        依题意（*）式对任意恒成立，

        ①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．…………9分

　　　　　②当t<0时，由，可知（）．

　　　　　　而当m是偶数时，因此t<0不合题意．…………10分

　　　　　③当t>0时，由（）,

∴　∴．    （）……11分

　　　　　　设     （）

　　　　　　∵ =,

　　　　　　∴．

　　　　　　∴的最大值为．

　　　　　　所以实数的取值范围是．…………………………………13分

20．（本小题满分14分）

解：（I） ∵x>0，∴

∴f(x)在（0，1）上为减函数，在上是增函数．

由0<a<b，且f(a)=f(b)，

可得 0<a1<b和．

即．

∴2ab=a+b>．……………………………………3分

故，即ab>1．……………………………………4分

 （II）不存在满足条件的实数a，b．

     若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=的定义域、值域都是

[a，b]，则a>0．

①   当时，在（0，1）上为减函数．

故     即 

解得  a=b．

故此时不存在适合条件的实数a，b．………………………………6分

②     当时，在上是增函数．

故     即 

此时a，b是方程的根，此方程无实根．

故此时不存在适合条件的实数a，b．………………………………8分

③     当，时，

由于，而，

故此时不存在适合条件的实数a，b．

      综上可知，不存在适合条件的实数a，b．………………………………10分

（III）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．

      则a>0，m>0．

①       当时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故．此时刻得a,b异号，不符合题意，所以a，b不存在．

②       当或时，由（II）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．

        故只有．

∵在上是增函数，

     ∴        即 

a，  b是方程的两个根．

即关于x的方程有两个大于1的实根．……………………12分

设这两个根为，．

则+=，?=．

∴       即 

解得   ．

    故m的取值范围是．…………………………………………14分