（2013•永州一模）在直角坐标系xoy中，椭圆C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

3

2

，F是抛物线C₂：y²=4x的焦点，C₁与C₂交于M，N两点（M在第一象限），且|MF|=2．
（1）求点M的坐标及椭圆C₁的方程；
（2）若过点N且斜率为k的直线l交C₁于另一点P，交C₂于另一点Q，且MP⊥MQ，求k的值．

（2008•临沂二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，F为右焦点，M、N两点在椭圆C上，且

MF

=λ

FN

（λ＞0）定点A（-4，0）
（I）求证：当λ=1时，有

MN

⊥

AF

；
（Ⅱ）若λ=1时，有

AM

•

AN

=

106

3

，求椭圆C的方程．
（Ⅲ）在（Ⅱ）确定的椭圆C上，当

AM

•

AN

×tan∠MAN的值为6

3

时，求直线MN的方程．

已知抛物线C₁：y=x²，F为抛物线的焦点，椭圆C₂：

x2

2

+

y2

a2

=1（0＜a＜2）；
（1）若M是C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF|=

3

4

，求实数a的值；
（2）设直线l：y=kx+1与抛物线C₁交于A，B两个不同的点，l与椭圆C₂交于P，Q两个不同点，AB中点为R，PQ中点为S，若O在以RS为直径的圆上，且k 2＞

1

2

，求实数a的取值范围．

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点F重合，点M是C₁与C₂在第一象限内的交点，且|MF|=

5

3

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设抛物线的准线与x轴交于点E，过E任作一条直线l，l与椭圆C₁的两个交点记为A，B．问：在椭圆的长轴上是否存在一点P，使

PA

•

PB

为定值？若存在，求出点P的坐标及相应的定值；若不存在，请说明理由．

（2012•西区模拟）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，F为椭圆的右焦点，M、N两点在椭圆C上，且

MF

=λ

FN

(λ＞0)，定点A（-4，0）．
（1）求证：当λ=1时，

MN

⊥

AF

；
（2）若当λ=1时，有

AM

•

AN

=

106

3

，求椭圆C的方程．