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如图，椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点是F（1，0），0为坐标原点．
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）点M是直线l：x=4上的动点，以OM为直径的圆过点N，且NF⊥OM，是否存在一个定点，使得N到该定点的距离为定值？并说明理由．

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如图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，M、N是椭圆右准线上的两个动点，且．
（1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；
（2）设椭圆的离心率为，MN的最小值为，求椭圆方程．

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如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点在直线l：x=1上，离心率e=．设P，Q为椭圆上不同的两点，且弦PQ的中点T在直线l上，点R（，0）．
（1）求椭圆的方程；
（2）试证：对于所有满足条件的P，Q，恒有|RP|=|RQ|；
（3）试判断△PQR能否为等边三角形？证明你的结论．

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1．D   2．C   3．A   4．B   5．A  6．B   7．B   8．D   9．C   10．B

11.A     12．B

13．      14．        15．         16．

 17．(本小题满分12分)

（Ⅰ）由正弦定理知sinA=，sinB，sinC=．

       ∴　2，

       ∴　．

∴，．

（Ⅱ）∵ =   

       ===

   ==．        

       ，∴，

       ∴当时，即时． 

18．（本小题满分12分）

   解（1）记得分之和为随机变量

　　则＝0，1，2　　其中

0

1

2

P

（2）

19、(本小题满分12分)

（I）解：由得

       ，

   （II）由，

       ∴数列{}是以S₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列，

       当n=1时a₁=1满足

   （III）①

       ，②

       ①－②得，

       则.

20、(本小题满分12分)

解：

（Ⅰ）∵．　　　　　　　　　　　　　　    

∴当时，．　　　　　　　 

因为，对一切成立，                

所以，对一切成立，所以是R上的减函数，

因此，没有极值．                                     

（Ⅱ）∵是R上的增函数，故在R上恒成立，

即在R上恒成立．　　　　　　　　　　　　　   

令，可得，

．　　

由，得或．

因此，函数在上单调递减，在（－1，1）上单调递增，
在（1，+）上单调递减．　　　　　　　　　　　　　

∴当时，有极小值，当时，有极大值．

又，故知为函数的最小值．　　

∴，但是当时，也是R上的增函数．

因此a的取值范围是．　　　

21、(本小题满分12分)

解：(1)由椭圆定义及已知条件知2a=|F₁B|+|F₂B|=10，∴a=5.

又c=4，∴b²=a²-c²=9.

故椭圆方程为+=1.                                                 

(2)由点B在椭圆上，可知|F₂B|=|y_B|=，而椭圆的右准线方程为x=，离心率为，

由椭圆定义有|F₂A|=(-x₁)，|F₂C|=(-x₂).

依题意|F₂A|+|F₂C|=2|F₂B|.

则(-x₁)+(-x₂)=2×.

∴x₁+x₂=8.

设弦AC的中点为P(x₀，y₀)，则x₀==4,

即弦AC的中点的横坐标为4.                                             

(3)由A(x₁,y₁)，C(x₂,y₂)在椭圆上得9x₁²+25y₁²=9×25，9x₂²+25y₂²=9×25.

两式相减整理得9()+25()()=0(x₁≠x₂).

将=x₀=4，=y₀，=-(k≠0)代入得

9×4+25y₀(-)=0,即k=y₀.

由于P(4,y₀)在弦AC的垂直平分线上，

∴y₀=4k+m,于是m=y₀-4k=y₀-y₀=-y₀.

而-<y₀<，∴-<m<.          

22、(本小题满分12分)

解：（I）①时，，
故结论成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　

②假设时结论成立，即．

∴，即．

也就是说时，结论也成立．

由①②可知，对一切均有．　　　　　

（Ⅱ）要证，即证，其中．

令，．

由，得．　　

+

0

―

极大值

又，．

∴当，，∴． 

∴，即．