题目列表(包括答案和解析)
如图1，在直角梯形
中, 
,
把△
沿对角线
折起后如图2所示(点
记为点
), 点在平面
上的正投影
落在线段
上, 连接
.
(1) 求直线
与平面
所成的角的大小;
(2) 求二面角
的大小的余弦值.
图1 图2
如图1，在直角梯形
中, 
,
把△
沿对角线
折起后如图2所示(点
记为点
),
点在平面
上的正投影
落在线段
上, 连接
.
(1) 求直线
与平面
所成的角的大小;
(2) 求二面角
的大小的余弦值.
图1 图2
中, 
,
沿对角线
折起后如图2所示(点
记为点
), 点在平面
上的正投影
落在线段
上, 连接
.
与平面
所成的角的大小;
的大小的余弦值.
如图，已知
为平行四边形，
，
，
，点
在
上，
，
，
与
相交于
．现将四边形
沿折起，使点
在平面
上的射影恰在直线
上．
(Ⅰ) 求证：
平面；
(Ⅱ) 求折后直线
与平面所成角的余弦值．
如图，已知
为平行四边形，
，
，
，点
在
上，
，
，
与
相交于
．现将四边形
沿折起，使点
在平面
上的射影恰在直线
上．
(Ⅰ) 求证：
平面；
(Ⅱ) 求折后直线
与平面所成角的余弦值．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
１．Ａ ２．B ３．Ｃ ４．A ５．B
６．Ｄ ７．Ａ ８．Ｃ ９．D 10．C
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
11.
12.
13.
或
14.
15.
16.
(也可表示成
) 17.①②③
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
18.解：(Ⅰ)由
---------4分
由
，得
即
则
，即
为钝角，故
为锐角，且
则
故
．
---------8分
(Ⅱ)设
，
由余弦定理得
解得
故
．
---------14分
19.解：(Ⅰ)由
，得
面
则平面
平面
，
由
平面
平面,
则
在平面上的射影在直线
上,
又在平面上的射影在直线
上,
则在平面上的射影即为点,
故
平面．
--------6分
(Ⅱ)连接
,由平面，得
即为直线
与平面所成角。
在原图中，由已知，可得
折后，由平面，知
则
，即
则在
中，有，
，则
，
故
即折后直线与平面所成角的余弦值为
．
--------14分
20.解：(Ⅰ)由
，
得
又
，故
故数列
为等比数列；
--------6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
，
则
则
对任意的
恒成立
由不等式
对
恒成立，得
．
--------14分
21.解：
(Ⅰ)由已知可得
此时
，
--------4分
由
得
的单调递减区间为
；----7分
(Ⅱ)由已知可得
在
上存在零点且在零点两侧值异号
⑴
时，
，不满足条件；
⑵
时，可得
在上有解且
设
①当
时，满足
在上有解
或
此时满足
②当
时，即在上有两个不同的实根
则
无解
综上可得实数的取值范围为
.
--------15分
22.解：(Ⅰ)(?)由已知可得
，
则所求椭圆方程
. --------3分
(?)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为
，准线方程为
，则动圆圆心轨迹方程为
.
--------6分
(Ⅱ)由题设知直线
的斜率均存在且不为零
设直线
的斜率为
，
，则直线的方程为：
联立
消去
可得
--------8分
由抛物线定义可知:
-----10分
同理可得
--------11分
又
(当且仅当
时取到等号)
所以四边形
面积的最小值为
.
--------15分
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