（1）若椭圆的方程是：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），它的左、右焦点依次为F₁、F₂，P是椭圆上异于长轴端点的任意一点．在此条件下我们可以提出这样一个问题：“设△PF₁F₂的过P角的外角平分线为l，自焦点F₂引l的垂线，垂足为Q，试求Q点的轨迹方程？”
对该问题某同学给出了一个正确的求解，但部分解答过程因作业本受潮模糊了，我们在

这些模糊地方划了线，请你将它补充完整．
解：延长F₂Q 交F₁P的延长线于E，据题意，
E与F₂关于l对称，所以|PE|=|PF₂|．
所以|EF₁|=|PF₁|+|PE|=|PF₁|+|PF₂|=，
在△EF₁F₂中，显然OQ是平行于EF₁的中位线，
所以|OQ|=

1

2

|EF₁|=，
注意到P是椭圆上异于长轴端点的点，所以Q点的轨迹是，
其方程是：．
（2）如图2，双曲线的方程是：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），它的左、右焦点依次为F₁、F₂，P是双曲线上异于实轴端点的任意一点．请你试着提出与（1）类似的问题，并加以证明．

　D

[解析]　依题意得0<a<1，于是由f(1－)>1得log_a(1－)>log_aa,0<1－<a，由此解得1<x<，因此不等式f(1－)>1的解集是(1，)，选D.

袋子中装有大小形状完全相同的m个红球和n个白球，其中m，n满足m>n≥2且m+n≤l0（m，n∈N⁺），若从中取出2个球，取出的2个球是同色的概率等于取出的2个球是异色的概率．

(Ⅰ) 求m，n的值；

(Ⅱ) 从袋子中任取3个球，设取到红球的个数为，求的分布列与数学期望．

【解析】第一问中利用,解得m=6，n=3.

第二问中，的取值为0，1，2，3. P（=0）= ，     P（=1）=

P（=2）= ，   P（=3）=

得到分布列和期望值

解：（I）据题意得到        解得m=6，n=3.

（II）的取值为0，1，2，3.

P（=0）= ，     P（=1）=

P（=2）= ，   P（=3）=

的分布列为

所以E=2

 

已知函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分离参数∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依题意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切线方程为y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切线过点A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

则g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．

∴g(x)_极小值＝g(0)＝－6，g(x)_极大值＝g(2)＝2

画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范围是(－6,2)．

 

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1

（1）   求曲线C的方程.

（2）   是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有?若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.

【解析】(1)由题意知曲线C上的点到F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等.

可确定其轨迹是抛物线，即可求出其方程为y²=4x.

(2)设过点M的直线方程为x=ty+m,然后与抛物线方程联立，消去x,利用韦达定理表示出,再证明其小于零即可.