在中，是三角形的三内角，是三内角对应的三边，已知成等差数列，成等比数列

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的值.

【解析】第一问中利用依题意且，故

第二问中，由题意又由余弦定理知

，得到，所以，从而得到结论。

（1）依题意且，故……………………6分

（2）由题意又由余弦定理知

…………………………9分

即   故

           代入得

 

如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，=60°.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）已知△的面积为40，求的值.

【解析】 （Ⅰ）由题=60°，则，即椭圆的离心率为。

（Ⅱ）因△的面积为40，设，又面积公式，又直线，

又由（Ⅰ）知，联立方程可得，整理得，解得，，所以，解得。

 

已知函数．

（1）试求的值域；

(2)设，若对， ，恒 成立，试求实数的取值范围

【解析】第一问利用

第二问中若，则，即当时，，又由（Ⅰ）知

若对，，恒有成立，即转化得到。

解：（1）函数可化为,  ……5分

 (2) 若，则，即当时，，又由（Ⅰ）知．        …………8分

若对，，恒有成立，即，

，即的取值范围是

 

已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

（Ⅰ）求实数的值； 

（Ⅱ）求在区间上的最大值；

（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

【解析】第一问当时，，则。

依题意得：，即    解得

第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值

第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设，则，显然

∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

（Ⅰ）当时，，则。

依题意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①当时，，令得

当变化时，的变化情况如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

又，，。∴在上的最大值为2.

②当时, .当时, ,最大值为0；

当时, 在上单调递增。∴在最大值为。

综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

当时，即时，在区间上的最大值为。

（Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设，则，显然

∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

若，则代入（*）式得：

即，而此方程无解，因此。此时，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，则

∴在上单调递增，  ∵     ∴,∴的取值范围是。

∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

 

已知向量（），向量，，

且.

（Ⅰ）求向量； （Ⅱ）若，，求.

【解析】本试题主要考查了向量的数量积的运算，以及两角和差的三角函数关系式的运用。

（1）问中∵，∴，…………………1分

∵，得到三角关系是，结合，解得。

（2）由，解得，，结合二倍角公式，和,代入到两角和的三角函数关系式中就可以求解得到。

解析一：（Ⅰ）∵，∴，…………1分

∵，∴，即   ①  …………2分

又 ②   由①②联立方程解得，，5分

∴     ……………6分

（Ⅱ）∵即，，  …………7分

∴，               ………8分

又∵，          ………9分

，            ……10分

∴．

解法二: (Ⅰ)，…………………………………1分

又，∴，即，①……2分

又    ②

将①代入②中，可得   ③    …………………4分

将③代入①中，得……………………………………5分

∴   …………………………………6分

(Ⅱ) 方法一 ∵,，∴，且……7分

∴，从而.      …………………8分

由(Ⅰ)知， ；     ………………9分

∴.     ………………………………10分

又∵，∴， 又，∴    ……11分

综上可得  ………………………………12分

方法二∵,，∴，且…………7分

∴.                                 ……………8分

由(Ⅰ)知， .                …………9分

∴             ……………10分

∵，且注意到，

∴，又，∴   ………………………11分

综上可得                    …………………12分

（若用，又∵ ∴ ，